(2,0 pontos) Resolva a integral
\int_{0}^{2 \sqrt{\pi}} \int_{y / 2}^{\sqrt{\pi}} \cos \left(x^{2}\right) d x d y

Passo 1

O enunciado dá a integral dupla
\int_{0}^{2 \sqrt{\pi}} \int_{y / 2}^{\sqrt{\pi}} \cos \left(x^{2}\right)\, d x\, d y.
Vamos expor claramente o que o problema pede e as informações fornecidas:
  • Calcular o valor numérico da integral dupla acima.
  • As condições de integração são 0 \le y \le 2\sqrt{\pi} e, para cada y nessa faixa, \dfrac{y}{2} \le x \le \sqrt{\pi}.
  • O integrando é \cos\!\bigl(x^{2}\bigr).

Passo 2

Descrever a região de integração no plano (x,y) a partir das desigualdades dadas (isso é útil para trocar a ordem de integração).
As desigualdades equivalem a
0 \le y \le 2\sqrt{\pi},\qquad \frac{y}{2} \le x \le \sqrt{\pi}.
A partir de \dfrac{y}{2} \le x obtemos y \le 2x. Assim, a região R é
R=\{(x,y)\mid 0\le y\le 2\sqrt{\pi},\\ \frac{y}{2}\le x\le\sqrt{\pi}\} =\{(x,y)\mid 0\le x\le\sqrt{\pi},\\\ 0\le y\le 2x\}.
Justificativa do intervalo em x: quando y=0 tem-se 0\le x\le\sqrt{\pi}; quando y=2\sqrt{\pi} tem-se x=\sqrt{\pi}. Logo, o menor x possível é 0 e o maior é \sqrt{\pi}. Para um x fixo em [0,\sqrt{\pi}], a condição y\le 2x e y\ge 0 0\le y\le 2x.

Passo 3

Breve nota teórica (por que podemos trocar a ordem): o integrando \cos\!\bigl(x^{2}\bigr) é contínuo em todo \mathbb{R}^2 (na verdade depende só de x), logo a integral é bem-comportada e podemos aplicar o teorema de Fubini para trocar a ordem de integração sem problemas.

Passo 4

Trocar a ordem de integração escrevendo a integral com x externamente:
\int_{0}^{2 \sqrt{\pi}} \int_{y / 2}^{\sqrt{\pi}} \cos \left(x^{2}\right)\, d x\, d y = \int_{0}^{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{2x} \cos \left(x^{2}\right)\, d y\, d x.

Passo 5

Calcular a integral interna em y. Observação importante: o integrando \cos\!\bigl(x^{2}\bigr) não depende de y, então a integração em y é simples:
\int_{0}^{2x} \cos\!\bigl(x^{2}\bigr)\, d y = \cos\!\bigl(x^{2}\bigr)\cdot\bigl[y\bigr]_{0}^{2x} = 2x\,\cos\!\bigl(x^{2}\bigr).

Passo 6

Agora a integral reduz-se a uma integral em x:
\int_{0}^{\sqrt{\pi}} 2x\,\cos\!\bigl(x^{2}\bigr)\, d x.
Fazer a substituição clássica para tratar x\,\cos(x^{2}): tomar u=x^{2}. Então
u=x^{2}\quad\Rightarrow\quad du=2x\,dx.
Os limites em u correspondentes são: quando x=0 tem u=0; quando x=\sqrt{\pi} tem u=\pi. Assim a integral fica
\int_{0}^{\sqrt{\pi}} 2x\,\cos\!\bigl(x^{2}\bigr)\, d x = \int_{0}^{\pi} \cos(u)\, d u.

Passo 7

Avaliar a integral em u:
\int_{0}^{\pi} \cos(u)\, d u = \bigl[\sin(u)\bigr]_{0}^{\pi} = \sin(\pi)-\sin(0)=0-0=0.

Passo 8

Interpretação final e comentário motivador: o valor da integral dupla é 0. Repare que tentativas de integrar primeiro em x diretamente dariam uma função antiderivada não elementar (as integrais de \cos(x^{2}) levam às funções de Fresnel), mas trocar a ordem e aproveitar que o integrando não depende de y torna o cálculo trivial — por isso desenhar a região e pensar em trocar a ordem é uma técnica poderosa na prova. Você mandou bem vindo até aqui, segue firme!

Resposta

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