(2,0 pontos) Resolva a integral
Passo 1
O enunciado dá a integral dupla
Vamos expor claramente o que o problema pede e as informações fornecidas:
- Calcular o valor numérico da integral dupla acima.
- As condições de integração são
e, para cada nessa faixa, . - O integrando é
.
Passo 2
Descrever a região de integração no plano
a partir das desigualdades dadas (isso é útil para trocar a ordem de integração).
As desigualdades equivalem a
As desigualdades equivalem a
A partir de
obtemos
. Assim, a região
é
Justificativa do intervalo em
: quando
tem-se
; quando
tem-se
. Logo, o menor
possível é
e o maior é
. Para um
fixo em
, a condição
e
dá
.
Passo 3
Breve nota teórica (por que podemos trocar a ordem): o integrando
é contínuo em todo
(na verdade depende só de
), logo a integral é bem-comportada e podemos aplicar o teorema de Fubini para trocar a ordem de integração sem problemas.
Passo 4
Trocar a ordem de integração escrevendo a integral com
externamente:
Passo 5
Calcular a integral interna em
. Observação importante: o integrando
não depende de
, então a integração em
é simples:
Passo 6
Agora a integral reduz-se a uma integral em
:
Fazer a substituição clássica para tratar
: tomar
. Então
Os limites em
correspondentes são: quando
tem
; quando
tem
. Assim a integral fica
Passo 7
Avaliar a integral em
:
Passo 8
Interpretação final e comentário motivador: o valor da integral dupla é
. Repare que tentativas de integrar primeiro em
diretamente dariam uma função antiderivada não elementar (as integrais de
levam às funções de Fresnel), mas trocar a ordem e aproveitar que o integrando não depende de
torna o cálculo trivial — por isso desenhar a região e pensar em trocar a ordem é uma técnica poderosa na prova. Você mandou bem vindo até aqui, segue firme!