(2,0 pontos) Escreva, usando coordenadas polares, a integral da função f(x, y)=1-x^{2}-y^{2} sobre a região dentro do círculo de raio 1 , com centro em (1,0).

Passo 1

O enunciado dá:
  • A função f(x,y)=1-x^{2}-y^{2}.
  • A região D é o interior do círculo de raio 1 com centro em (1,0); em equação: (x-1)^{2}+y^{2}\le 1.
O que se pede:
  • Escrever a integral dupla de f sobre D usando coordenadas polares (ou seja, expressar a integral \iint_{D}(1-x^{2}-y^{2})\,dA em coordenadas polares, com os limites apropriados e o jacobiano).

Passo 2

Lembrete breve sobre coordenadas polares:
  • As coordenadas polares são definidas por x=r\cos\theta e y=r\sin\theta, onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x.
  • O elemento de área em coordenadas polares é dA = r\,dr\,d\theta. Aqui r aparece por causa do jacobiano da transformação; intuitivamente, pequenas áreas quadradas em coordenadas cartesianas viram anéis de espessura dr e arco de comprimento r\,d\theta.

Passo 3

Escrever a condição da região em polares. A equação do círculo é
(x-1)^{2}+y^{2}\le 1.
Substituindo x=r\cos\theta e y=r\sin\theta obtemos
(r\cos\theta-1)^{2}+(r\sin\theta)^{2}\le 1.
Expandindo,
r^{2}\cos^{2}\theta -2r\cos\theta +1 + r^{2}\sin^{2}\theta \le 1.
Como \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1, isso simplifica para
r^{2}-2r\cos\theta \le 0.
Fatorando,
r(r-2\cos\theta)\le 0.

Passo 4

Interpretando a desigualdade:
  • Sempre temos r\ge 0. Para r(r-2\cos\theta)\le 0 ser verdadeiro com r\ge0, é necessário e suficiente que 0\le r \le 2\cos\theta.
  • Isso só faz sentido quando 2\cos\theta\ge 0, ou seja, quando \cos\theta\ge 0. Assim o ângulo \theta está no intervalo
-\tfrac{\pi}{2}\le \theta \le \tfrac{\pi}{2}.
Portanto os limites polares da região são \theta\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right] e, para cada \theta desse intervalo, r varia de 0 até 2\cos\theta.

Passo 5

Transformar o integrando e montar a integral:
  • Em polares, x^{2}+y^{2}=r^{2}, logo f(x,y)=1-r^{2}.
  • O elemento de área é dA=r\,dr\,d\theta.
  • Portanto o integrando com o jacobiano fica (1-r^{2})\cdot r = r - r^{3}.
A integral pedida em coordenadas polares é
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_{0}^{2\cos\theta}\bigl(r-r^{3}\bigr)\,dr\,d\theta.
Um comentário prático: a região e o integrando são simétricos em relação ao eixo x, então às vezes é conveniente usar 2\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{2\cos\theta}(r-r^{3})\,dr\,d\theta, mas a forma acima já está correta e completa.

Resposta

\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_{0}^{2\cos\theta}\bigl(r-r^{3}\bigr)\,dr\,d\theta

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