(2,0 pontos) Escreva, usando coordenadas polares, a integral da função
sobre a região dentro do círculo de raio 1 , com centro em
.
Passo 1
O enunciado dá:
- A função
. - A região
é o interior do círculo de raio com centro em ; em equação: .
O que se pede:
- Escrever a integral dupla de
sobre usando coordenadas polares (ou seja, expressar a integral em coordenadas polares, com os limites apropriados e o jacobiano).
Passo 2
Lembrete breve sobre coordenadas polares:
- As coordenadas polares são definidas por
e , onde é a distância ao origem e é o ângulo medido a partir do eixo . - O elemento de área em coordenadas polares é
. Aqui aparece por causa do jacobiano da transformação; intuitivamente, pequenas áreas quadradas em coordenadas cartesianas viram anéis de espessura e arco de comprimento .
Passo 3
Escrever a condição da região em polares. A equação do círculo é
Substituindo
e
obtemos
Expandindo,
Como
, isso simplifica para
Fatorando,
Passo 4
Interpretando a desigualdade:
- Sempre temos
. Para ser verdadeiro com , é necessário e suficiente que . - Isso só faz sentido quando
, ou seja, quando . Assim o ângulo está no intervalo
Portanto os limites polares da região são
e, para cada
desse intervalo,
varia de
até
.
Passo 5
Transformar o integrando e montar a integral:
- Em polares,
, logo . - O elemento de área é
. - Portanto o integrando com o jacobiano fica
.
A integral pedida em coordenadas polares é
Um comentário prático: a região e o integrando são simétricos em relação ao eixo
, então às vezes é conveniente usar
, mas a forma acima já está correta e completa.