- (3 pontos) Uma esfera está centrada na origem, a mesma apresenta densidade volumétrica de carga
e raio
. Na posição dî foi colocada uma carga
puntiforme. Considere
e determine:
(a) o campo elétrico em
;
(b) o campo elétrico para
;
(c) Determine a relação entre
e
para que o campo elétrico na borda da esfera seja zero;
(a) o campo elétrico em
(b) o campo elétrico para
(c) Determine a relação entre
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Há uma esfera de raio
centrada na origem com densidade volumétrica de carga constante . - Uma carga pontual
está colocada na posição (ou seja, no eixo , a uma distância da origem). - Considerar um ponto de observação com coordenada
tal que (ponto dentro da esfera). - O enunciado pede:
(a) o campo elétrico em;
(b) o campo elétrico em;
(c) a relação entree para que o campo elétrico na borda da esfera seja zero (interpretação a seguir).
Observações sobre (c): o enunciado diz “na borda da esfera”. Vou interpretar isto de forma natural física: pedir a relação necessária para que o campo elétrico seja nulo em toda a superfície esférica
. Se essa condição não for possível com
deslocada (isto é, com
), vou mostrar que isso só é possível se a carga pontual estiver no centro (
) e então encontrarei a relação entre
e
.
Passo 2
Princípios físicos e método que vamos usar (explicação didática curta).
- Princípio da superposição: o campo elétrico total é a soma vetorial dos campos produzidos pela distribuição contínua (esfera) e pela carga pontual. Isso significa
- Campo devido à esfera uniformemente carregada (centro na origem):
Para um ponto interno à esfera (ou seja,) a carga efetiva que contribui é apenas a carga contida em uma esfera de raio . Pela lei de Gauss (ou cálculo direto), o campo dentro é radial e tem magnitude
Substituindo,
Como o campo é radial, o vetor campo da esfera no ponto
(com
) é
Explicação intuitiva: dentro de uma esfera uniforme o campo cresce linearmente com a distância ao centro porque a carga “encapsulada” cresce como
enquanto a superfície sobre a qual essa carga age cresce como
.
- Campo devido à carga pontual
colocada em :
Para um ponto de observaçãoo vetor que aponta da carga pontual até o ponto é . O campo gerado por é
Isso é a forma padrão do campo Coulombiano: direção de
e magnitude
.
Passo 3
Campo total em um ponto genérico
dentro da esfera (
):
Vamos usar essa fórmula para os pontos pedidos.
Passo 4
(a) Campo em
(com
).
- Para esse ponto temos
. Então o campo da esfera é
- O vetor
é . Assim o campo da carga pontual é
(Aqui escrevemos a forma com
para manter o caso geral
pode ser maior ou menor que
; a direção final fica em
com o sinal apropriado.)
- Somando os dois contributions (eles são colineares, ambos ao longo de
):
Explicação rápida: como ponto de observação, carga esférica gera um campo radial em
e a carga pontual também gera um campo ao longo de
naquele ponto, por isso os vetores somam facilmente.
Passo 5
(b) Campo em
(com
).
- Agora
. Campo da esfera (novo tem magnitude e direção ):
- O vetor
é . O módulo desse vetor é . Logo o campo da carga pontual é
- Somando esfera + carga pontual,
Observação didática: note que neste ponto o campo resultante tem componente em
(vinda somente da carga pontual) e componente em
(vinda tanto da esfera quanto da carga pontual). Não há simplificação escalar como no item (a).
Passo 6
(c) Relação entre
e
para que o campo elétrico na borda da esfera seja zero (interpretação: nulidade em toda a superfície
).
-
Primeiro observação de simetria e possibilidade: para que o campo total seja nulo em TODA a superfície esférica é necessário que a componente do campo devida à carga pontual sobre a superfície se comporte como um campo radial uniforme (isto é, seja proporcional a
em cada ponto). Mas o campo de uma carga pontual deslocada ( ) não é radial com centro na origem e, portanto, não pode cancelar a contribuição radial da esfera em todos os pontos simultaneamente. Conclusão: a única forma possível de cancelar o campo da esfera em todos os pontos da superfície é quando a carga pontual está no centro, isto é, . Vou mostrar isso de forma simples usando pontos opostos: - Suponha que a condição
valha em todo ponto da superfície. Em particular deve valer nos pontos e . Usando a fórmula do Passo 4 para : e em (substituindo na mesma expressão) Essas duas equações levam (somando-as) à condição Para isso implica Essa igualdade só é satisfeita se (pois para os lados não coincidem — pode-se verificar considerando ou e os módulos). Logo é necessário .
- Suponha que a condição
-
Portanto a única possibilidade para que
em toda a superfície é que a carga pontual esteja no centro: . Nesse caso o campo da carga pontual é radial (mesma direção que o campo da esfera) e podemos cancelar magnitude por magnitude. -
Agora supondo
, calculemos a relação entre e . - Para
e temos - A condição
em toda a superfície é então, escalarmente, - Isolando
, - Interpretação física:
deve ser igual a menos a carga total da esfera uniforme (a carga da esfera é ). Assim o total de carga do sistema fica zero e, com a carga pontual no centro, o campo externo (e também o campo na superfície) anula-se.
- Para