1. (3 pontos) Uma esfera está centrada na origem, a mesma apresenta densidade volumétrica de carga \rho e raio a. Na posição dî foi colocada uma carga q puntiforme. Considere b<a e determine:
    (a) o campo elétrico em b \hat{i};
    (b) o campo elétrico para b \hat{j};
    (c) Determine a relação entre q e \rho para que o campo elétrico na borda da esfera seja zero;

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Há uma esfera de raio a centrada na origem com densidade volumétrica de carga constante \rho.
  • Uma carga pontual q está colocada na posição d\hat{\imath} (ou seja, no eixo x, a uma distância d da origem).
  • Considerar um ponto de observação com coordenada b tal que b<a (ponto dentro da esfera).
  • O enunciado pede:
    (a) o campo elétrico em \,b\hat{\imath}\,;
    (b) o campo elétrico em \,b\hat{\jmath}\,;
    (c) a relação entre q e \rho para que o campo elétrico na borda da esfera seja zero (interpretação a seguir).
Observações sobre (c): o enunciado diz “na borda da esfera”. Vou interpretar isto de forma natural física: pedir a relação necessária para que o campo elétrico seja nulo em toda a superfície esférica \lvert \mathbf{r}\rvert=a. Se essa condição não for possível com q deslocada (isto é, com d\neq0), vou mostrar que isso só é possível se a carga pontual estiver no centro ( d=0) e então encontrarei a relação entre q e \rho.

Passo 2

Princípios físicos e método que vamos usar (explicação didática curta).
  • Princípio da superposição: o campo elétrico total é a soma vetorial dos campos produzidos pela distribuição contínua (esfera) e pela carga pontual. Isso significa
\mathbf{E}_{\text{total}}(\mathbf{r})=\mathbf{E}_{\text{esfera}}(\mathbf{r})+\mathbf{E}_{q}(\mathbf{r}).
  • Campo devido à esfera uniformemente carregada (centro na origem):
    Para um ponto interno à esfera (ou seja, \lvert \mathbf{r}\rvert=r<a) a carga efetiva que contribui é apenas a carga contida em uma esfera de raio r. Pela lei de Gauss (ou cálculo direto), o campo dentro é radial e tem magnitude
E_{\text{esfera}}(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_{\text{enc}}}{r^2} \quad\text{com}\quad Q_{\text{enc}}=\rho\cdot\frac{4}{3}\pi r^3.
Substituindo,
E_{\text{esfera}}(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\rho\frac{4}{3}\pi r^3}{r^2} =\frac{\rho r}{3\epsilon_0}.
Como o campo é radial, o vetor campo da esfera no ponto \mathbf{r} (com \lvert\mathbf{r}\rvert=r<a) é
\mathbf{E}_{\text{esfera}}(\mathbf{r})=\frac{\rho}{3\epsilon_0}\,\mathbf{r}.
Explicação intuitiva: dentro de uma esfera uniforme o campo cresce linearmente com a distância ao centro porque a carga “encapsulada” cresce como r^3 enquanto a superfície sobre a qual essa carga age cresce como r^2.
  • Campo devido à carga pontual q colocada em d\hat{\imath}:
    Para um ponto de observação \mathbf{r} o vetor que aponta da carga pontual até o ponto é \mathbf{r}-d\hat{\imath}. O campo gerado por q é
\mathbf{E}_{q}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,q\, \frac{\mathbf{r}-d\hat{\imath}}{\lvert \mathbf{r}-d\hat{\imath}\rvert^3}.
Isso é a forma padrão do campo Coulombiano: direção de \mathbf{r}-\mathbf{r}_q e magnitude q/(4\pi\epsilon_0 \,\text{dist}^2).

Passo 3

Campo total em um ponto genérico \mathbf{r} dentro da esfera ( \lvert\mathbf{r}\rvert< a):
\mathbf{E}_{\text{total}}(\mathbf{r}) =\frac{\rho}{3\epsilon_0}\,\mathbf{r} +\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,q\, \frac{\mathbf{r}-d\hat{\imath}}{\lvert \mathbf{r}-d\hat{\imath}\rvert^3}.
Vamos usar essa fórmula para os pontos pedidos.

Passo 4

(a) Campo em \,b\hat{\imath} (com b<a).
  • Para esse ponto temos \mathbf{r}=b\hat{\imath}. Então o campo da esfera é
\mathbf{E}_{\text{esfera}}(b\hat{\imath})=\frac{\rho}{3\epsilon_0}\,b\hat{\imath}.
  • O vetor \mathbf{r}-d\hat{\imath} é (b-d)\hat{\imath}. Assim o campo da carga pontual é
\mathbf{E}_{q}(b\hat{\imath}) =\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,q\,\frac{(b-d)\hat{\imath}}{\lvert b-d\rvert^3} =\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,q\,\frac{b-d}{\lvert b-d\rvert^3}\,\hat{\imath}.
(Aqui escrevemos a forma com \lvert b-d\rvert para manter o caso geral b pode ser maior ou menor que d; a direção final fica em \hat{\imath} com o sinal apropriado.)
  • Somando os dois contributions (eles são colineares, ambos ao longo de \hat{\imath}):
\boxed{\, \mathbf{E}(b\hat{\imath}) =\left(\frac{\rho b}{3\epsilon_0}+\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,q\,\frac{b-d}{\lvert b-d\rvert^3}\right)\hat{\imath}. \,}
Explicação rápida: como ponto de observação, carga esférica gera um campo radial em \hat{\imath} e a carga pontual também gera um campo ao longo de \hat{\imath} naquele ponto, por isso os vetores somam facilmente.

Passo 5

(b) Campo em \,b\hat{\jmath} (com b<a).
  • Agora \mathbf{r}=b\hat{\jmath}. Campo da esfera (novo \mathbf{r} tem magnitude b e direção \hat{\jmath}):
\mathbf{E}_{\text{esfera}}(b\hat{\jmath})=\frac{\rho}{3\epsilon_0}\,b\hat{\jmath}.
  • O vetor \mathbf{r}-d\hat{\imath} é -d\hat{\imath}+b\hat{\jmath}. O módulo desse vetor é \lvert \mathbf{r}-d\hat{\imath}\rvert=\sqrt{d^2+b^2}. Logo o campo da carga pontual é
\mathbf{E}_{q}(b\hat{\jmath}) =\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,q\, \frac{-d\hat{\imath}+b\hat{\jmath}}{(d^2+b^2)^{3/2}}.
  • Somando esfera + carga pontual,
\boxed{\, \mathbf{E}(b\hat{\jmath}) =\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,q\,\frac{-d\hat{\imath}+b\hat{\jmath}}{(d^2+b^2)^{3/2}} +\frac{\rho b}{3\epsilon_0}\,\hat{\jmath}. \,}
Observação didática: note que neste ponto o campo resultante tem componente em \hat{\imath} (vinda somente da carga pontual) e componente em \hat{\jmath} (vinda tanto da esfera quanto da carga pontual). Não há simplificação escalar como no item (a).

Passo 6

(c) Relação entre q e \rho para que o campo elétrico na borda da esfera seja zero (interpretação: nulidade em toda a superfície \lvert\mathbf{r}\rvert=a).
  • Primeiro observação de simetria e possibilidade: para que o campo total seja nulo em TODA a superfície esférica é necessário que a componente do campo devida à carga pontual sobre a superfície se comporte como um campo radial uniforme (isto é, seja proporcional a \hat{r} em cada ponto). Mas o campo de uma carga pontual deslocada ( d\neq0) não é radial com centro na origem e, portanto, não pode cancelar a contribuição radial da esfera em todos os pontos simultaneamente. Conclusão: a única forma possível de cancelar o campo da esfera em todos os pontos da superfície é quando a carga pontual está no centro, isto é, d=0. Vou mostrar isso de forma simples usando pontos opostos:
    • Suponha que a condição \mathbf{E}=0 valha em todo ponto da superfície. Em particular deve valer nos pontos a\hat{\imath} e -a\hat{\imath}. Usando a fórmula do Passo 4 para b=a: \mathbf{E}(a\hat{\imath}) =\left(\frac{\rho a}{3\epsilon_0}+\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,q\,\frac{a-d}{\lvert a-d\rvert^3}\right)\hat{\imath}=0,e em -a\hat{\imath} (substituindo b=-a na mesma expressão) \mathbf{E}(-a\hat{\imath}) =\left(-\frac{\rho a}{3\epsilon_0}+\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,q\,\frac{-a-d}{\lvert -a-d\rvert^3}\right)\hat{\imath}=0.Essas duas equações levam (somando-as) à condição q\!\left(\frac{a-d}{\lvert a-d\rvert^3}+\frac{-a-d}{\lvert a+d\rvert^3}\right)=0.Para q\neq0 isso implica \frac{a-d}{\lvert a-d\rvert^3}=\frac{a+d}{\lvert a+d\rvert^3}.Essa igualdade só é satisfeita se d=0 (pois para d\neq0 os lados não coincidem — pode-se verificar considerando d>0 ou d<0 e os módulos). Logo é necessário d=0.
  • Portanto a única possibilidade para que \mathbf{E}=0 em toda a superfície é que a carga pontual esteja no centro: d=0. Nesse caso o campo da carga pontual é radial (mesma direção que o campo da esfera) e podemos cancelar magnitude por magnitude.
  • Agora supondo d=0, calculemos a relação entre q e \rho.
    • Para d=0 e \lvert\mathbf{r}\rvert=a temos \mathbf{E}_{\text{esfera}}(a\hat{r})=\frac{\rho a}{3\epsilon_0}\,\hat{r}, \qquad \mathbf{E}_{q}(a\hat{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,q\,\frac{\hat{r}}{a^2} =\frac{q}{4\pi\epsilon_0 a^2}\,\hat{r}.
    • A condição \mathbf{E}_{\text{total}}=0 em toda a superfície é então, escalarmente, \frac{\rho a}{3\epsilon_0}+\frac{q}{4\pi\epsilon_0 a^2}=0.
    • Isolando q, \frac{q}{4\pi\epsilon_0 a^2}=-\frac{\rho a}{3\epsilon_0} \quad\Rightarrow\quad q=-\frac{4\pi a^3}{3}\,\rho.
    • Interpretação física: q deve ser igual a menos a carga total da esfera uniforme (a carga da esfera é Q_{\text{esfera}}=\rho\cdot\frac{4}{3}\pi a^3). Assim o total de carga do sistema fica zero e, com a carga pontual no centro, o campo externo (e também o campo na superfície) anula-se.

Resposta

\mathbf{E}(b\hat{\imath})=\displaystyle\left(\frac{\rho b}{3\epsilon_0}+\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,q\,\frac{b-d}{\lvert b-d\rvert^3}\right)\hat{\imath}
\mathbf{E}(b\hat{\jmath})=\displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,q\,\frac{-d\hat{\imath}+b\hat{\jmath}}{(d^2+b^2)^{3/2}}+\frac{\rho b}{3\epsilon_0}\,\hat{\jmath}
q=-\dfrac{4\pi a^3}{3}\,\rho (possível para anular o campo em toda a superfície somente se d=0; para d\neq0 não é possível anular o campo em toda a borda)

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