(3 pontos) Um disco de raio R é carregado uniformemente com carga Q e disposto sobre o plano x y. Determine:
(a) O campo elétrico a uma distância d do centro do disco, sob o eixo z;
(b) Determine o potencial a partir do campo elétrico;
(c) Se uma partícula de carga q e massa m é solta num ponto P que dista inicialmente d do disco, determine a velocidade para z \rightarrow \infty.

Passo 1

O enunciado pede três coisas e nos dá dados claros. Vou listar isso com calma para não nos perdermos.
  • Dados fornecidos (pegue estes como fixos):
    • Disco de raio R.
    • Carga total do disco Q, distribuída uniformemente sobre a superfície do disco.
    • Ponto P sobre o eixo z a uma distância d do centro do disco (ou seja, coordenada z=d).
    • Partícula de carga q e massa m, inicialmente em repouso em z=d.
  • O que é pedido:
    (a) Determinar o campo elétrico no eixo z a uma distância d do centro do disco (isto é, \mathbf{E} no ponto z=d).
    (b) Determinar o potencial elétrico a partir do campo elétrico (escolhendo V(\infty)=0).
    (c) Se a partícula de carga q e massa m é solta em z=d, determinar sua velocidade quando z\to\infty.
Vou usar a densidade superficial de carga e a simetria do problema (campo ao longo do eixo do disco) para resolver (a), depois obter (b) por integração do campo e finalmente (c) por conservação de energia. Não vou pular etapas — vou mostrar cada integral e as manipulações.

Passo 2

Primeira peça de teoria prática: modelagem por anéis concêntricos.
  • Como o disco é carregado uniformemente, a densidade superficial de carga é
\sigma=\frac{Q}{\pi R^{2}}.
Explanação: \sigma é carga por unidade de área; multiplicando \sigma pela área do disco \pi R^2 recuperamos Q.
  • Método: decompor o disco em anéis concêntricos de raio r e espessura dr. Cada anel tem carga
dq=\sigma\cdot(\text{área do anel})=\sigma\cdot 2\pi r\,dr.á
Cada elemento de carga do anel contribui para o campo no eixo; por simetria, as componentes horizontais se cancelam e sobra apenas a componente ao longo do eixo z.
  • Campo de um anel no ponto do eixo a distância z do centro:
    Considere um anel de raio r, carga dq, ponto no eixo a distância z. Pelo princípio de Coulomb, o módulo da contribuição diferencial de campo na direção do eixo vale
dE_z=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{dq}{\rho^2}\cos\theta,
onde \rho é a distância entre um elemento do anel e o ponto (aqui \rho=\sqrt{r^{2}+z^{2}}) e \cos\theta é a projeção na direção do eixo ( \cos\theta = \dfrac{z}{\sqrt{r^{2}+z^{2}}}). Substituindo,
dE_z=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{dq}{(r^{2}+z^{2})}\cdot\frac{z}{\sqrt{r^{2}+z^{2}}} =\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{z\,dq}{(r^{2}+z^{2})^{3/2}}.

Passo 3

Agora integramos sobre todos os anéis do disco (de r=0 até r=R):
  • Substituir dq=\sigma\,2\pi r\,dr na expressão de dE_z:
dE_z=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{z\cdot (\sigma\,2\pi r\,dr)}{(r^{2}+z^{2})^{3/2}} =\frac{\sigma z}{2\epsilon_0}\frac{r\,dr}{(r^{2}+z^{2})^{3/2}}.
  • Integral do campo:
E_z(z)=\int_{0}^{R} dE_z =\frac{\sigma z}{2\epsilon_0}\int_{0}^{R}\frac{r\,dr}{(r^{2}+z^{2})^{3/2}}.
  • Calcule a integral. Faça a substituição u=r^{2}+z^{2}, então du=2r\,dr e quando r=0 temos u=z^{2}, quando r=R temos u=R^{2}+z^{2}. A integral fica
\int_{0}^{R}\frac{r\,dr}{(r^{2}+z^{2})^{3/2}} =\frac{1}{2}\int_{z^{2}}^{R^{2}+z^{2}} u^{-3/2}\,du.
Avalie:
\frac{1}{2}\int u^{-3/2}\,du=\frac{1}{2}\left[-2u^{-1/2}\right]= -u^{-1/2}.
Aplicando limites,
\int_{0}^{R}\frac{r\,dr}{(r^{2}+z^{2})^{3/2}} = -\left[(R^{2}+z^{2})^{-1/2} - (z^{2})^{-1/2}\right] = \frac{1}{z}-\frac{1}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}.
  • Substituindo na expressão de E_z:
E_z(z)=\frac{\sigma z}{2\epsilon_0}\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}\right) =\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\left(1-\frac{z}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}}\right).
  • Direção do campo: para carga positiva do disco, o campo aponta para aumentar z (repulsivo) se o ponto estiver acima do disco; então vetorialmente
\mathbf{E}(z)=E_z(z)\,\hat{\mathbf{z}} =\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\left(1-\frac{z}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}}\right)\hat{\mathbf{z}}.

Passo 4

Aplicando o resultado em z=d (isto responde o item (a)):
Substitua z=d e \sigma=\dfrac{Q}{\pi R^{2}}. Assim o campo no ponto pedido é
\boxed{\displaystyle \mathbf{E}(d)=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\left(1-\frac{d}{\sqrt{d^{2}+R^{2}}}\right)\hat{\mathbf{z}} =\frac{Q}{2\pi\epsilon_0 R^{2}}\left(1-\frac{d}{\sqrt{d^{2}+R^{2}}}\right)\hat{\mathbf{z}}.}
Explicação rápida: escrevi também em termos de Q porque às vezes é mais prático na prova.

Passo 5

Agora (b): obter o potencial a partir do campo. Teoria usada: o potencial escalar V(z) e o campo têm relação unidimensional no eixo:
E_z(z)=-\frac{dV}{dz}.
Escolho a referência V(\infty)=0. Então
V(z)=-\int_{\infty}^{z} E_z(z')\,dz'=\int_{z}^{\infty} E_z(z')\,dz'
(com sinal trocado por ordem de integração).
Substitua a expressão de E_z:
V(z)=\int_{z}^{\infty}\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\left(1-\frac{z'}{\sqrt{z'^{2}+R^{2}}}\right)dz'.
Para integrar essa expressão, observe uma identidade útil: a derivada de \sqrt{z'^{2}+R^{2}} é
\frac{d}{dz'}\sqrt{z'^{2}+R^{2}}=\frac{z'}{\sqrt{z'^{2}+R^{2}}}.
Logo o integrando é 1-\dfrac{d}{dz'}\sqrt{z'^{2}+R^{2}}. Assim
\int_{z}^{\infty}\left(1-\frac{z'}{\sqrt{z'^{2}+R^{2}}}\right)dz' =\left.\left(z'-\sqrt{z'^{2}+R^{2}}\right)\right|_{z}^{\infty}.
Agora avalie o limite quando z'\to\infty: usando expansão \sqrt{z'^{2}+R^{2}}=z'\sqrt{1+R^{2}/z'^{2}} \sim z' + \dfrac{R^{2}}{2z'}+\cdots, tem-se z'-\sqrt{z'^{2}+R^{2}}\to 0. Portanto
\int_{z}^{\infty}\left(1-\frac{z'}{\sqrt{z'^{2}+R^{2}}}\right)dz' = 0 -\big(z-\sqrt{z^{2}+R^{2}}\big)=\sqrt{z^{2}+R^{2}}-z.
Multiplicando pela constante \dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}, obtemos o potencial:
\boxed{\displaystyle V(z)=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\big(\sqrt{z^{2}+R^{2}}-z\big),}
com V(\infty)=0. Em termos de Q,
\boxed{\displaystyle V(z)=\frac{Q}{2\pi\epsilon_0 R^{2}}\big(\sqrt{z^{2}+R^{2}}-z\big).}
Observação didática: a integral parecia ter um termo divergente se separada em duas partes, mas a forma combinada é convergente; reconhecer a derivada de \sqrt{z^{2}+R^{2}} facilita muito.

Passo 6

Item (c): velocidade da partícula quando z\to\infty.
  • Princípio usado: conservação da energia mecânica elétrica (não há forças não-conservativas aqui). A energia potencial elétrica de uma carga q no potencial V(z) é U(z)=qV(z). A partícula é solta do repouso em z=d, então energia inicial
E_{\text{inicial}}=U(d)=qV(d).
Quando z\to\infty, por escolha de referência V(\infty)=0, a energia potencial final é zero, e toda a energia que sobrar será cinética:
\frac{1}{2}m v^{2}=q\big(V(d)-V(\infty)\big)=qV(d).
  • Portanto a velocidade final vale
v=\sqrt{\frac{2qV(d)}{m}}.
  • Substitua V(d)=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\big(\sqrt{d^{2}+R^{2}}-d\big) (ou em termos de Q):
\boxed{\displaystyle v=\sqrt{\frac{2q}{m}\cdot\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\big(\sqrt{d^{2}+R^{2}}-d\big)} =\sqrt{\frac{q\sigma}{\epsilon_0 m}\big(\sqrt{d^{2}+R^{2}}-d\big)}.}
Usando \sigma=\dfrac{Q}{\pi R^{2}}
\boxed{\displaystyle v=\sqrt{\frac{qQ}{\pi\epsilon_0 m R^{2}}\big(\sqrt{d^{2}+R^{2}}-d\big)}.}
  • Nota física importante (leitura de prova/interpretativa): para que v seja real (ou seja, para que a partícula realmente vá para z\to\infty sozinha), é necessário que qV(d)\ge 0. Isso significa:
    • Se q e Q têm o mesmo sinal, qV(d)>0 e a partícula é repelida, alcançando \infty com a velocidade dada.
    • Se q e Q têm sinais opostos, qV(d)<0 e a energia potencial inicial é negativa; soltar a partícula do repouso então não dá energia suficiente para ela escapar até \infty — ela será atraída e não chegará a z\to\infty sem energia adicional. Em problemas de prova costuma-se assumir que as condições permitem o escape; senão a resposta deve conter essa observação.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{E}(d)=\frac{Q}{2\pi\epsilon_0 R^{2}}\left(1-\frac{d}{\sqrt{d^{2}+R^{2}}}\right)\hat{\mathbf{z}}
(b) \displaystyle V(d)=\frac{Q}{2\pi\epsilon_0 R^{2}}\big(\sqrt{d^{2}+R^{2}}-d\big)
(c) \displaystyle v=\sqrt{\frac{qQ}{\pi\epsilon_0 m R^{2}}\big(\sqrt{d^{2}+R^{2}}-d\big)}

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