(3 pontos) Um disco de raio R é carregado uniformemente com carga Q e disposto sobre o plano x y. Determine:
(a) O campo elétrico a uma distância d do centro do disco, sob o eixo z;
(b) Determine o potencial a partir do campo elétrico;
(c) Se uma partícula de carga q e massa m é solta num ponto P que dista inicialmente d do disco, determine a velocidade para z \rightarrow \infty.
Passo 1
O enunciado pede três coisas e nos dá dados claros. Vou listar isso com calma para não nos perdermos.
Dados fornecidos (pegue estes como fixos):
Disco de raio R.
Carga total do disco Q, distribuída uniformemente sobre a superfície do disco.
Ponto P sobre o eixo z a uma distância d do centro do disco (ou seja, coordenada z=d).
Partícula de carga q e massa m, inicialmente em repouso em z=d.
O que é pedido:
(a) Determinar o campo elétrico no eixo z a uma distância d do centro do disco (isto é, \mathbf{E} no ponto z=d).
(b) Determinar o potencial elétrico a partir do campo elétrico (escolhendo V(\infty)=0).
(c) Se a partícula de carga q e massa m é solta em z=d, determinar sua velocidade quando z\to\infty.
Vou usar a densidade superficial de carga e a simetria do problema (campo ao longo do eixo do disco) para resolver (a), depois obter (b) por integração do campo e finalmente (c) por conservação de energia. Não vou pular etapas — vou mostrar cada integral e as manipulações.
Passo 2
Primeira peça de teoria prática: modelagem por anéis concêntricos.
Como o disco é carregado uniformemente, a densidade superficial de carga é
\sigma=\frac{Q}{\pi R^{2}}.
Explanação: \sigma é carga por unidade de área; multiplicando \sigma pela área do disco \pi R^2 recuperamos Q.
Método: decompor o disco em anéis concêntricos de raio r e espessura dr. Cada anel tem carga
dq=\sigma\cdot(\text{área do anel})=\sigma\cdot 2\pi r\,dr.
Cada elemento de carga do anel contribui para o campo no eixo; por simetria, as componentes horizontais se cancelam e sobra apenas a componente ao longo do eixo z.
Campo de um anel no ponto do eixo a distância z do centro:
Considere um anel de raio r, carga dq, ponto no eixo a distância z. Pelo princípio de Coulomb, o módulo da contribuição diferencial de campo na direção do eixo vale
onde \rho é a distância entre um elemento do anel e o ponto (aqui \rho=\sqrt{r^{2}+z^{2}}) e \cos\theta é a projeção na direção do eixo (\cos\theta = \dfrac{z}{\sqrt{r^{2}+z^{2}}}). Substituindo,
Observação didática: a integral parecia ter um termo divergente se separada em duas partes, mas a forma combinada é convergente; reconhecer a derivada de \sqrt{z^{2}+R^{2}} facilita muito.
Passo 6
Item (c): velocidade da partícula quando z\to\infty.
Princípio usado: conservação da energia mecânica elétrica (não há forças não-conservativas aqui). A energia potencial elétrica de uma carga q no potencial V(z) é U(z)=qV(z). A partícula é solta do repouso em z=d, então energia inicial
E_{\text{inicial}}=U(d)=qV(d).
Quando z\to\infty, por escolha de referência V(\infty)=0, a energia potencial final é zero, e toda a energia que sobrar será cinética:
\boxed{\displaystyle v=\sqrt{\frac{qQ}{\pi\epsilon_0 m R^{2}}\big(\sqrt{d^{2}+R^{2}}-d\big)}.}
Nota física importante (leitura de prova/interpretativa): para que v seja real (ou seja, para que a partícula realmente vá para z\to\infty sozinha), é necessário que qV(d)\ge 0. Isso significa:
Se q e Q têm o mesmo sinal, qV(d)>0 e a partícula é repelida, alcançando \infty com a velocidade dada.
Se q e Q têm sinais opostos, qV(d)<0 e a energia potencial inicial é negativa; soltar a partícula do repouso então não dá energia suficiente para ela escapar até \infty — ela será atraída e não chegará a z\to\infty sem energia adicional. Em problemas de prova costuma-se assumir que as condições permitem o escape; senão a resposta deve conter essa observação.