(3 pontos) Na construção de uma esfera isolante de raio a, formou-se uma pequena bolha, não centralizada, de raio b, o vetor que liga o centro da esfera ao centro da bolha é dado por \vec{d}. Determine:
(a) O campo elétrico em qualquer ponto no interior da esfera caso ela tenha sido construída perfeitamente, sem a formação da bolha;
(b) O campo elétrico em qualquer ponto no interior da bolha;
(c) Se a esfera fosse condutora, o que mudaria nas respostas anteriores? Explique.

Passo 1

O enunciado dá uma esfera isolante de raio a que foi construída com densidade de carga volumétrica uniforme (vou chamar essa densidade de \rho), mas durante a construção formou-se uma pequena bolha (uma cavidade esférica vazia) de raio b cujo centro está deslocado do centro da esfera por um vetor \vec{d}. Não há indicação de cargas extras dentro da bolha, então assumimos que a bolha é simplesmente uma região vazia (sem carga) removida do interior da distribuição uniforme de densidade \rho.
As perguntas que o enunciado faz são:
(a) Qual é o campo elétrico em qualquer ponto no interior da esfera caso ela tivesse sido construída perfeitamente, sem a bolha? (ou seja, para a esfera uniformemente carregada completa, para pontos com |\vec{r}|<a.)
(b) Qual é o campo elétrico em qualquer ponto no interior da bolha (ou seja, para pontos \vec{r} tais que |\vec{r}-\vec{d}|<b) na configuração real (esfera com a cavidade)?
(c) Se a esfera fosse condutora (em vez de isolante), o que mudaria nas respostas anteriores? Explique.
Observação: a resolução abaixo vai introduzir e usar \rho (densidade volumétrica constante) e a constante \varepsilon_0. Não foi dado explicitamente \rho no enunciado, mas é a quantidade natural a usar para uma esfera isolante uniformemente carregada.

Passo 2

Entender e lembrar a ferramenta principal para (a): a Lei de Gauss no eletrostático. Vou dar uma mini-aula sobre ela porque é fundamental e muito usada em provas.
  • Lei de Gauss (forma integral): para qualquer superfície fechada
\oint_{\mathcal{S}} \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0},
onde Q_{\text{enc}} é a carga total contida no volume limitado pela superfície \mathcal{S}.
  • Quando o problema tem simetria esférica e se quer o campo em função da distância radial r ao centro, é natural tomar como superfície gaussiana uma esfera de raio r. Se \vec{E} é radial e tem mesmo módulo em todos os pontos dessa esfera, a integral se torna E(r)\cdot 4\pi r^2.
Agora aplicamos isso ao caso de uma esfera sólida uniformemente carregada (sem cavidade).

Passo 3

Cálculo do campo dentro da esfera uniformemente carregada (parte a).
  • Considere um ponto a uma distância r do centro, com 0\le r<a.
  • A carga contida na esfera de raio r é a densidade vezes o volume interno:
Q_{\text{enc}}=\rho\cdot \frac{4}{3}\pi r^3.
  • Pela simetria esférica, o campo é radial e tem mesmo módulo em todos os pontos a distância r. Então aplicando Gauss,
E(r)\cdot 4\pi r^2=\frac{1}{\varepsilon_0}\,\rho\cdot\frac{4}{3}\pi r^3.
  • Simplificando,
E(r)=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\,r.
  • Em forma vetorial (campo radiante para fora se \rho>0), escrevemos
\vec{E}(\vec{r})=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\,\vec{r},\qquad\text{para }|\vec{r}|<a.
Explicação física curta: dentro de uma esfera uniformemente carregada o campo cresce linearmente com a distância ao centro, porque a carga efetiva que está “à esquerda” de uma superfície gaussiana de raio r cresce como r^3, enquanto a área da superfície cresce como r^2.

Passo 4

Estratégia para a parte (b): tratamento da cavidade por superposição (truque-padrão).
  • Ideia: a esfera com cavidade pode ser vista como a sobreposição de duas distribuições mais simples:
    1. Uma esfera completa de raio a com densidade \rho (a esfera “cheia”).
    2. Uma esfera menor (a região da cavidade) de raio b e densidade -\rho localizada com centro em \vec{d}. Essa segunda esfera representa a carga que foi removida (portanto densidade negativa). Superpondo a distribuição cheia com a distribuição negativa obtemos exatamente a esfera com a cavidade vazia.
  • Como o eletromagnetismo é linear (o campo resultante é soma dos campos individuais), somamos os campos das duas distribuições para obter o campo real.
Vou então escrever os campos de cada uma das duas distribuições nos pontos dentro da cavidade.

Passo 5

Campo devido à esfera completa (centro na origem) em um ponto \vec{r} que esteja dentro da cavidade (ou seja, |\vec{r}-\vec{d}|<b, mas isto não impede que |\vec{r}|<a ou |\vec{r}|>a; aqui usamos a expressão válida para pontos dentro da esfera completa, supondo |\vec{r}|<a — esses pontos estão dentro do volume original preenchido). Para a esfera completa já temos (Passo 3):
\vec{E}_{\text{cheia}}(\vec{r})=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\,\vec{r}.
Campo devido à esfera pequena com densidade -\rho e centro em \vec{d}. Para uma esfera uniformemente carregada (positiva) de centro em \vec{d}, o campo dentro dela (num ponto \vec{r} tal que |\vec{r}-\vec{d}|<b) seria
\vec{E}_{\text{pequena, +}}(\vec{r})=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\,(\vec{r}-\vec{d}).
Como a esfera pequena que representa a região removida tem densidade -\rho, seu campo é o negativo do acima:
\vec{E}_{\text{removida}}(\vec{r})=-\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\,(\vec{r}-\vec{d}).

Passo 6

Somando os dois campos (superposição) para obter o campo total dentro da cavidade:
\vec{E}(\vec{r})=\vec{E}_{\text{cheia}}(\vec{r})+\vec{E}_{\text{removida}}(\vec{r}) =\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\,\vec{r} -\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\,(\vec{r}-\vec{d}).
Simplificando termos:
\vec{E}(\vec{r})=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\,\vec{d}.
Observações importantes:
  • O resultado é surpreendentemente simples: o campo dentro da cavidade é uniforme (constante em todo o interior da bolha) e igual a \dfrac{\rho}{3\varepsilon_0}\,\vec{d}.
  • Note que o vetor posição \vec{r} desapareceu da expressão — por isso o campo não depende do ponto dentro da cavidade, apenas do deslocamento \vec{d} entre os centros. A direção do campo é a direção de \vec{d} (da origem — centro da esfera cheia — para o centro da cavidade) e o sentido segue o signo de \rho.

Passo 7

Interpretação física e checagens rápidas (para te deixar confiante na resposta).
  • Caso \vec{d}=\vec{0} (cavidade centralizada), \vec{E}=\vec{0} dentro da cavidade — isto faz sentido: uma cavidade central numa esfera uniformemente carregada não causa campo interno na cavidade (por simetria).
  • O módulo do campo aumenta com |\vec{d}|: quanto mais deslocada for a cavidade, maior o campo uniforme dentro dela.
  • A solução foi obtida usando apenas Gauss (para cada esfera separadamente) e princípio da superposição — técnicas padrão em provas.

Passo 8

Resposta à parte (c): e se a esfera fosse condutora?
Mini-aula curta sobre condutores em equilíbrio eletrostático:
  • Em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico dentro do material condutor é zero; caso contrário, cargas livres se moveriam até anular qualquer campo.
  • Qualquer carga líquida colocada em um condutor em equilíbrio reside na superfície externa do corpo condutor. Se houver cavidades internas sem cargas presas dentro delas, as superfícies internas da cavidade não terão carga induzida (ou seja, nenhuma carga líquida aparece na superfície da cavidade).
  • Consequência prática: um condutor serve como “blindagem” — campos externos não penetram no interior do condutor, e se não há cargas dentro das cavidades, não haverá campo dentro dessas cavidades.
Aplicando isso ao nosso problema:
  • Se a esfera fosse condutora (mesmo que com a cavidade deslocada), no estado de equilíbrio eletrostático o campo no interior do material condutor seria \vec{E}=\vec{0}.
  • Além disso, como não há cargas dentro da cavidade, não haveria cargas induzidas na superfície interna da cavidade, de modo que o campo dentro da cavidade também seria \vec{0}.
  • Em resumo: para uma esfera condutora em equilíbrio (sem cargas presas dentro da cavidade), tanto o interior do material quanto o interior da cavidade teriam campo elétrico nulo.

Resposta

(a) \displaystyle \vec{E}(\vec{r})=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\,\vec{r}\quad\text{para }|\vec{r}|<a.
(b) \displaystyle \vec{E}(\vec{r})=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\,\vec{d}\quad\text{para qualquer ponto dentro da cavidade, ou seja, para }|\vec{r}-\vec{d}|<b.
(c) Se a esfera fosse condutora (e não houvesse cargas presas dentro da cavidade), então \vec{E}=\vec{0} dentro do material condutor e também \vec{E}=\vec{0} em toda a cavidade.

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