(2,0 pontos) Expresse a integral \iiint_{E} f(x, y, z) d V como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde E é o sólido limitado pelas superfícies x=9-y^{2}-z^{2} e x=0.

Passo 1

O enunciado pede que eu expresse a integral tripla \iiint_{E} f(x,y,z)\,dV como integrais iteradas em seis ordens diferentes.
As informações dadas são: a região E é o sólido limitado pelas superfícies \;x=9-y^{2}-z^{2}\; e \;x=0\;.
Portanto o sólido consiste de todos os pontos (x,y,z) que satisfazem simultaneamente as duas equações de fronteira (ou seja, estão entre essas superfícies).

Passo 2

Entendimento geométrico e projeção (passo essencial para limites das integrais).
A superfície \;x=9-y^{2}-z^{2}\; pode ser reescrita como \;y^{2}+z^{2}=9-x\;. Para que haja pontos reais, precisamos de 9-x\ge0, logo 0\le x\le9.
A interseção com \;x=0\; \;y^{2}+z^{2}\le9\;, isto é, a projeção de E no plano yz é o disco centrado na origem de raio 3: \;y^{2}+z^{2}\le9.
Assim, uma descrição útil de E é
E=\{(x,y,z)\mid 0\le x\le 9-y^{2}-z^{2},\; y^{2}+z^{2}\le9\}.
Essa fórmula é a base para montar as integrais iteradas: para cada ordem de integração escolho a variável mais interna e escrevo seus limites em função das variáveis externas (que já estão fixadas).

Passo 3

Casos em que a variável \;x\; é a variável mais interna (duas ordens: \,dx\,dy\,dz e \,dx\,dz\,dy).
Para qualquer ponto da projeção no plano yz temos \;0\le x\le 9-y^{2}-z^{2}\;. A projeção no plano yz é o disco \;y^{2}+z^{2}\le9\;, cujo limite pode ser escrito tomando z externo e y médio ou vice‑versa.
Ordem \,dx\,dy\,dz: para cada z fixo entre -3 e 3, y varia entre -\sqrt{9-z^{2}} e +\sqrt{9-z^{2}}. Para cada (y,z) o x varia de 0 a 9-y^{2}-z^{2}. Logo
\iiint_{E} f\,dV = \int_{z=-3}^{3}\int_{y=-\sqrt{9-z^{2}}}^{\sqrt{9-z^{2}}}\int_{x=0}^{9-y^{2}-z^{2}} f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.
Ordem \,dx\,dz\,dy: análogo trocando os papéis de y e z. Para cada y\in[-3,3], z\in[-\sqrt{9-y^{2}},\sqrt{9-y^{2}}] e x\in[0,9-y^{2}-z^{2}]. Assim
\iiint_{E} f\,dV = \int_{y=-3}^{3}\int_{z=-\sqrt{9-y^{2}}}^{\sqrt{9-y^{2}}}\int_{x=0}^{9-y^{2}-z^{2}} f(x,y,z)\,dx\,dz\,dy.

Passo 4

Casos em que \;x\; é a variável do meio (duas ordens: \,dy\,dx\,dz e \,dz\,dx\,dy). Aqui preciso expressar os limites de y (ou z) em função de x e da outra variável externa.
Ordem \,dy\,dx\,dz: tomo z externo primeiro. Para um z fixo, a projeção no plano x\!y vem de 0\le x\le 9-z^{2} (porque preciso de 9-z^{2}-x\ge0 para que exista y). Para um par fixo (x,z) satisfazendo 0\le x\le 9-z^{2}, a desigualdade que define E
y^{2}\le 9-z^{2}-x,
isto é -\sqrt{9-z^{2}-x}\le y\le \sqrt{9-z^{2}-x}. Portanto
\iiint_{E} f\,dV = \int_{z=-3}^{3}\int_{x=0}^{9-z^{2}}\int_{y=-\sqrt{9-z^{2}-x}}^{\sqrt{9-z^{2}-x}} f(x,y,z)\,dy\,dx\,dz.
Ordem \,dz\,dx\,dy: agora fixo y por fora. Para y fixo, x varia de 0 a 9-y^{2}. Para cada (x,y) válidos, z satisfaz
z^{2}\le 9-y^{2}-x,
logo -\sqrt{9-y^{2}-x}\le z\le \sqrt{9-y^{2}-x}. Assim
\iiint_{E} f\,dV = \int_{y=-3}^{3}\int_{x=0}^{9-y^{2}}\int_{z=-\sqrt{9-y^{2}-x}}^{\sqrt{9-y^{2}-x}} f(x,y,z)\,dz\,dx\,dy.

Passo 5

Casos em que \;x\; é a variável mais externa (duas ordens: \,dy\,dz\,dx e \,dz\,dy\,dx). Nessas formas fixo x por fora e descrevo a seção transversal em yz.
Para um x fixo, a seção é o disco \;y^{2}+z^{2}\le 9-x\;. Assim posso tomar z médio e y interno ou vice‑versa.
Ordem \,dy\,dz\,dx: para x\in[0,9], temos z\in[-\sqrt{9-x},\sqrt{9-x}] e, para cada (x,z),
-\sqrt{9-x-z^{2}}\le y\le \sqrt{9-x-z^{2}}.
Logo
\iiint_{E} f\,dV = \int_{x=0}^{9}\int_{z=-\sqrt{9-x}}^{\sqrt{9-x}}\int_{y=-\sqrt{9-x-z^{2}}}^{\sqrt{9-x-z^{2}}} f(x,y,z)\,dy\,dz\,dx.
Ordem \,dz\,dy\,dx: trocando y e z,
\iiint_{E} f\,dV = \int_{x=0}^{9}\int_{y=-\sqrt{9-x}}^{\sqrt{9-x}}\int_{z=-\sqrt{9-x-y^{2}}}^{\sqrt{9-x-y^{2}}} f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx.

Passo 6

Resumo e observações finais (dicas para prova).
  • O truque geral: projetar a região sobre o plano das duas variáveis externas, escrever a desigualdade que define E para obter o limite da variável interna.
  • Para esta região a projeção no plano yz é o disco \;y^{2}+z^{2}\le9\;, e para cada (y,z) temos 0\le x\le 9-y^{2}-z^{2}.
  • As seis ordens correspondem às seis permutações de (x,y,z); em cada caso escrevo os limites conforme explicado acima. Pronto — você pode usar qualquer uma das formas dependendo do que facilita calcular a integral (por exemplo, se f não depende de x convém colocar dx por dentro, etc.). Força — você já consegue montar qualquer ordem agora!

Resposta

\iiint_{E} f\,dV = \int_{z=-3}^{3}\int_{y=-\sqrt{9-z^{2}}}^{\sqrt{9-z^{2}}}\int_{x=0}^{9-y^{2}-z^{2}} f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz
\iiint_{E} f\,dV = \int_{y=-3}^{3}\int_{z=-\sqrt{9-y^{2}}}^{\sqrt{9-y^{2}}}\int_{x=0}^{9-y^{2}-z^{2}} f(x,y,z)\,dx\,dz\,dy
\iiint_{E} f\,dV = \int_{z=-3}^{3}\int_{x=0}^{9-z^{2}}\int_{y=-\sqrt{9-z^{2}-x}}^{\sqrt{9-z^{2}-x}} f(x,y,z)\,dy\,dx\,dz
\iiint_{E} f\,dV = \int_{y=-3}^{3}\int_{x=0}^{9-y^{2}}\int_{z=-\sqrt{9-y^{2}-x}}^{\sqrt{9-y^{2}-x}} f(x,y,z)\,dz\,dx\,dy
\iiint_{E} f\,dV = \int_{x=0}^{9}\int_{z=-\sqrt{9-x}}^{\sqrt{9-x}}\int_{y=-\sqrt{9-x-z^{2}}}^{\sqrt{9-x-z^{2}}} f(x,y,z)\,dy\,dz\,dx
\iiint_{E} f\,dV = \int_{x=0}^{9}\int_{y=-\sqrt{9-x}}^{\sqrt{9-x}}\int_{z=-\sqrt{9-x-y^{2}}}^{\sqrt{9-x-y^{2}}} f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx

Exercícios relacionados