(2,0 pontos) Expresse a integral
como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde
é o sólido limitado pelas superfícies
e
.
Passo 1
O enunciado pede que eu expresse a integral tripla
como integrais iteradas em seis ordens diferentes.
As informações dadas são: a região é o sólido limitado pelas superfícies
e
.
Portanto o sólido consiste de todos os pontos que satisfazem simultaneamente as duas equações de fronteira (ou seja, estão entre essas superfícies).
As informações dadas são: a região
Portanto o sólido consiste de todos os pontos
Passo 2
Entendimento geométrico e projeção (passo essencial para limites das integrais).
A superfície pode ser reescrita como
. Para que haja pontos reais, precisamos de
, logo
.
A interseção com dá
, isto é, a projeção de
no plano
é o disco centrado na origem de raio
:
.
Assim, uma descrição útil de é
A superfície
A interseção com
Assim, uma descrição útil de
Essa fórmula é a base para montar as integrais iteradas: para cada ordem de integração escolho a variável mais interna e escrevo seus limites em função das variáveis externas (que já estão fixadas).
Passo 3
Casos em que a variável
é a variável mais interna (duas ordens:
e
).
Para qualquer ponto da projeção no plano temos
. A projeção no plano
é o disco
, cujo limite pode ser escrito tomando
externo e
médio ou vice‑versa.
Para qualquer ponto da projeção no plano
Ordem
: para cada
fixo entre
e
,
varia entre
e
. Para cada
o
varia de
a
. Logo
Ordem
: análogo trocando os papéis de
e
. Para cada
,
e
. Assim
Passo 4
Casos em que
é a variável do meio (duas ordens:
e
). Aqui preciso expressar os limites de
(ou
) em função de
e da outra variável externa.
Ordem
: tomo
externo primeiro. Para um
fixo, a projeção no plano
vem de
(porque preciso de
para que exista
). Para um par fixo
satisfazendo
, a desigualdade que define
dá
isto é
. Portanto
Ordem
: agora fixo
por fora. Para
fixo,
varia de
a
. Para cada
válidos,
satisfaz
logo
. Assim
Passo 5
Casos em que
é a variável mais externa (duas ordens:
e
). Nessas formas fixo
por fora e descrevo a seção transversal em
.
Para um
fixo, a seção é o disco
. Assim posso tomar
médio e
interno ou vice‑versa.
Ordem
: para
, temos
e, para cada
,
Logo
Ordem
: trocando
e
,
Passo 6
Resumo e observações finais (dicas para prova).
- O truque geral: projetar a região sobre o plano das duas variáveis externas, escrever a desigualdade que define
para obter o limite da variável interna. - Para esta região a projeção no plano
é o disco , e para cada temos . - As seis ordens correspondem às seis permutações de
; em cada caso escrevo os limites conforme explicado acima. Pronto — você pode usar qualquer uma das formas dependendo do que facilita calcular a integral (por exemplo, se não depende de convém colocar por dentro, etc.). Força — você já consegue montar qualquer ordem agora!