(1,5 pontos) Sejam x, y e z números reais não nulos. Detrmine o valor máximo de f(x, y, z)=x y z no plano x+y+z=12.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa precisa. Informações:
  • x,\;y,\;z são números reais não nulos.
  • Há a restrição (o plano) \;x+y+z=12.
  • A função a maximizar é \;f(x,y,z)=xyz.
    Pergunta: determinar o valor máximo de \;f(x,y,z) sujeito à restrição \;x+y+z=12.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar nas possibilidades de sinal de x,y,z. Se todos os três fossem positivos, podemos usar uma desigualdade clássica (AM–GM) para encontrar um máximo dentro do octante positivo. Mas precisamos verificar se existem escolhas de sinais que produzam valores maiores do que o que ocorre no caso todos positivos. Vou mostrar que, permitindo sinais negativos, é possível tornar f arbitrariamente grande (portanto não há máximo finito).

Passo 3

Construa uma família de pontos na restrição que dá produtos positivos e crescentes. Tome um parâmetro t>0 e defina
x=-t,\qquad y=-t,\qquad z=12+2t.
Note que para todo t>0 temos x+y+z=-t-t+(12+2t)=12, então a restrição é satisfeita. Calcule f para esses pontos:
f(-t,-t,12+2t)=(-t)(-t)(12+2t)=t^{2}(12+2t)=2t^{3}+12t^{2}.
À medida que t\to+\infty, o termo dominante é 2t^{3}, logo
2t^{3}+12t^{2}\to+\infty.
Portanto, por essa família de pontos, f cresce sem limite superior.

Passo 4

Da construção do passo anterior segue que não existe valor máximo finito de \;f(x,y,z)=xyz no plano \;x+y+z=12 quando permitimos x,y,z serem quaisquer reais não nulos: a função é ilimitada superiormente (pode crescer arbitrariamente). Assim, não há máximo.

Passo 5

(Comentário didático útil para a prova.) Se, porém, a questão implicitamente restringisse \;x,y,z a serem positivos, então poderíamos usar a desigualdade AM–GM para encontrar o máximo nisso. Lembrete da AM–GM para três positivos: para a,b,c>0 vale
\frac{a+b+c}{3}\ge (abc)^{1/3},
com igualdade quando a=b=c. Aplicando com a=x,\;b=y,\;c=z e sabendo x+y+z=12 (e supondo x,y,z>0), obtemos
\frac{12}{3}\ge (xyz)^{1/3}\quad\Rightarrow\quad 4\ge (xyz)^{1/3}.
Elevando ao cubo:
xyz\le 4^{3}=64,
e a igualdade (máximo 64) ocorre em x=y=z=4. Esse é um resultado padrão: com soma fixa e variáveis positivas, o produto é máximo quando as variáveis são iguais.

Resposta

Não existe máximo finito: \sup f=+\infty.
(Se for exigido x,y,z>0, então o máximo é 64, atingido em x=y=z=4.)

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