(1,5 pontos) Sejam
e
números reais não nulos. Detrmine o valor máximo de
no plano
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa precisa. Informações:
-
são números reais não nulos. - Há a restrição (o plano)
. - A função a maximizar é
.
Pergunta: determinar o valor máximo desujeito à restrição .
Passo 2
Primeiro, vamos pensar nas possibilidades de sinal de
. Se todos os três fossem positivos, podemos usar uma desigualdade clássica (AM–GM) para encontrar um máximo dentro do octante positivo. Mas precisamos verificar se existem escolhas de sinais que produzam valores maiores do que o que ocorre no caso todos positivos. Vou mostrar que, permitindo sinais negativos, é possível tornar
arbitrariamente grande (portanto não há máximo finito).
Passo 3
Construa uma família de pontos na restrição que dá produtos positivos e crescentes. Tome um parâmetro
e defina
Note que para todo
temos
, então a restrição é satisfeita. Calcule
para esses pontos:
À medida que
, o termo dominante é
, logo
Portanto, por essa família de pontos,
cresce sem limite superior.
Passo 4
Da construção do passo anterior segue que não existe valor máximo finito de
no plano
quando permitimos
serem quaisquer reais não nulos: a função é ilimitada superiormente (pode crescer arbitrariamente). Assim, não há máximo.
Passo 5
(Comentário didático útil para a prova.) Se, porém, a questão implicitamente restringisse
a serem positivos, então poderíamos usar a desigualdade AM–GM para encontrar o máximo nisso. Lembrete da AM–GM para três positivos: para
vale
com igualdade quando
. Aplicando com
e sabendo
(e supondo
), obtemos
Elevando ao cubo:
e a igualdade (máximo
) ocorre em
. Esse é um resultado padrão: com soma fixa e variáveis positivas, o produto é máximo quando as variáveis são iguais.
Resposta
Não existe máximo finito:
.
(Se for exigido , então o máximo é
, atingido em
.)
(Se for exigido