(2,0 pontos) Uma fábrica de automóvels anuncia que seus carros consomem, em média, 16 litros por 100 km . com desvio padrâo de 1,2 litro. Uma revista especializada decide testar essa afirmação e analisa 50 carros dessa marca, obtendo um consumo médio de 17,4 litros por 100 km . Admitindo que o consumo tenha distribulçâo normal, teste a hipótese nula de que it = 16, em lace da hipótese alternativa de que \boldsymbol{\wedge} é diferente de 16, adotando o nível de significância de a =0,06.

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado fornece e o que é pedido.
  • Dados fornecidos (peguei esses números do enunciado):
    • Consumo anunciado (hipótese nula): \mu_0 = 16 litros por 100\\ \text{km}.
    • Desvio padrão (populacional): \sigma = 1{,}2 litro.
    • Tamanho da amostra: n = 50.
    • Média amostral observada: \bar{x} = 17{,}4 litros por 100\\ \text{km}.
    • Suposição: consumo tem distribuição normal.
    • Nível de significância: \alpha = 0{,}06.
  • O que o enunciado pede:
    • Testar a hipótese nula H_0:\\ \mu = 16contra a hipótese alternativa bilateral H_1:\\ \mu \neq 16ao nível de significância \alpha=0{,}06. Ou seja, decidir se os dados fornecem evidência suficiente para concluir que a média real de consumo é diferente de 16.

Passo 2

Escolha do teste e fórmula da estatística de teste — explicação didática.
  • Como o desvio padrão populacional \sigma é conhecido e a população é assumida normal, usamos o teste z para a média populacional. Esse é o procedimento padrão quando \sigma é conhecido: comparamos a média amostral com a média hipotética em unidades do erro padrão.
  • Definição e interpretação da estatística de teste:
    Z=\frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}.
    Onde:
    • \bar{x} é a média observada na amostra.
    • \mu_0 é a média sob H_0.
    • \sigma é o desvio padrão populacional fornecido.
    • n é o tamanho da amostra.
    • \sigma/\sqrt{n} é o erro padrão da média (medida de quanto a média amostral costuma variar em torno da média populacional).
  • Para um teste bilateral ao nível \alpha, a região de rejeição é \{Z: |Z|>z_{1-\alpha/2}\}, onde z_{1-\alpha/2} é o quantil da normal padrão que deixa área \alpha/2 na cauda superior.

Passo 3

Cálculo do erro padrão da média (passo a passo numérico).
  • Primeiro calcule \sqrt{n}:
    \sqrt{n}=\sqrt{50}\approx 7{,}0711.
  • Agora o erro padrão:
    \text{SE}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{1{,}2}{7{,}0711}\approx 0{,}1697056.
    Explicação: o erro padrão diz quanto, em média, a média da amostra varia quando repetimos amostragens de mesmo tamanho.

Passo 4

Cálculo da estatística Z (passo a passo numérico).
  • Diferença entre média observada e a hipotética:
    \bar{x}-\mu_0 = 17{,}4 - 16 = 1{,}4.
  • Estatística:
    Z=\frac{1{,}4}{0{,}1697056}\approx 8{,}249.
  • Interpretação numérica: esse valor de Z indica quantos erros-padrão a média amostral está acima da média hipotética.

Passo 5

Determinação da região crítica e do p-valor (passo a passo).
  • Região crítica (teste bilateral com \alpha=0{,}06):
    • Calcula-se \alpha/2 = 0{,}03.
    • O quantil correspondente é z_{1-\alpha/2}=z_{0{,}97}. Usando tabela da normal padrão ou função inversa, obtém-se aproximadamente z_{0{,}97}\approx 1{,}8808.
    • Assim a região de não-rejeição é |Z|\le 1{,}8808; a região de rejeição é |Z|>1{,}8808.
  • Comparação numérica:
    |Z| \approx 8{,}249 \quad\text{e}\quad z_{0{,}97}\approx 1{,}8808,
    portanto |Z|>z_{0{,}97}. (Observação: isto indica que a estatística está fora da região de não-rejeição.)
  • Cálculo do p-valor:
    p\text{-valor}=2\big(1-\Phi(|Z|)\big).
    Como |Z| é muito grande ( \approx 8{,}249), \Phi(8{,}249) é praticamente 1, logo o p-valor é praticamente 0 (muito menor que 0{,}06). Em notação aproximada pode-se dizer p\text{-valor}<10^{-16} (efetivamente nulo para propósitos práticos).

Passo 6

Interpretação prática (como relatar na prova) — como entender o resultado sem jargões.
  • O cálculo mostrou que a média observada na amostra ( 17{,}4) está muitos erros-padrão acima do valor anunciado ( 16). A estatística de teste excede largamente o limite crítico para \alpha=0{,}06, e o p-valor é praticamente zero. Isso significa que os dados observados são incompatíveis com a hipótese de que a média verdadeira seja 16 (com nível de significância 0{,}06).
  • Em linguagem simples para a prova: “Os dados fornecem evidência estatística forte de que a média de consumo difere de 16 litros por 100\\ \text{km}.” (O sinal positivo de Z indica que a média amostral é maior que 16.)

Resposta

Rejeita-se H_0 ao nível de significância \alpha=0{,}06 (estatística Z\approx 8{,}249, z_{0{,}97}\approx 1{,}8808; p\text{-valor}\ll 0{,}06).

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