(2,0 pontos) Uma fábrica de automóvels anuncia que seus carros consomem, em média, 16 litros por 100 km . com desvio padrâo de 1,2 litro. Uma revista especializada decide testar essa afirmação e analisa 50 carros dessa marca, obtendo um consumo médio de 17,4 litros por 100 km . Admitindo que o consumo tenha distribulçâo normal, teste a hipótese nula de que it = 16, em lace da hipótese alternativa de que
é diferente de 16, adotando o nível de significância de a
.
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado fornece e o que é pedido.
-
Dados fornecidos (peguei esses números do enunciado):
- Consumo anunciado (hipótese nula):
litros por . - Desvio padrão (populacional):
litro. - Tamanho da amostra:
. - Média amostral observada:
litros por . - Suposição: consumo tem distribuição normal.
- Nível de significância:
.
- Consumo anunciado (hipótese nula):
-
O que o enunciado pede:
- Testar a hipótese nula
contra a hipótese alternativa bilateral ao nível de significância . Ou seja, decidir se os dados fornecem evidência suficiente para concluir que a média real de consumo é diferente de .
- Testar a hipótese nula
Passo 2
Escolha do teste e fórmula da estatística de teste — explicação didática.
-
Como o desvio padrão populacional
é conhecido e a população é assumida normal, usamos o teste z para a média populacional. Esse é o procedimento padrão quando é conhecido: comparamos a média amostral com a média hipotética em unidades do erro padrão. -
Definição e interpretação da estatística de teste:Onde:
-
é a média observada na amostra. -
é a média sob . -
é o desvio padrão populacional fornecido. -
é o tamanho da amostra. -
é o erro padrão da média (medida de quanto a média amostral costuma variar em torno da média populacional).
-
-
Para um teste bilateral ao nível
, a região de rejeição é , onde é o quantil da normal padrão que deixa área na cauda superior.
Passo 3
Cálculo do erro padrão da média (passo a passo numérico).
-
Primeiro calcule
: -
Agora o erro padrão:Explicação: o erro padrão diz quanto, em média, a média da amostra varia quando repetimos amostragens de mesmo tamanho.
Passo 4
Cálculo da estatística
(passo a passo numérico).
-
Diferença entre média observada e a hipotética:
-
Estatística:
-
Interpretação numérica: esse valor de
indica quantos erros-padrão a média amostral está acima da média hipotética.
Passo 5
Determinação da região crítica e do p-valor (passo a passo).
-
Região crítica (teste bilateral com
): - Calcula-se
. - O quantil correspondente é
. Usando tabela da normal padrão ou função inversa, obtém-se aproximadamente - Assim a região de não-rejeição é
; a região de rejeição é .
- Calcula-se
-
Comparação numérica:portanto
. (Observação: isto indica que a estatística está fora da região de não-rejeição.) -
Cálculo do p-valor:Como
é muito grande ( ), é praticamente , logo o p-valor é praticamente (muito menor que ). Em notação aproximada pode-se dizer (efetivamente nulo para propósitos práticos).
Passo 6
Interpretação prática (como relatar na prova) — como entender o resultado sem jargões.
-
O cálculo mostrou que a média observada na amostra (
) está muitos erros-padrão acima do valor anunciado ( ). A estatística de teste excede largamente o limite crítico para , e o p-valor é praticamente zero. Isso significa que os dados observados são incompatíveis com a hipótese de que a média verdadeira seja (com nível de significância ). -
Em linguagem simples para a prova: “Os dados fornecem evidência estatística forte de que a média de consumo difere de
litros por .” (O sinal positivo de indica que a média amostral é maior que .)
Resposta
Rejeita-se
ao nível de significância
(estatística
,
;
).