Um processo existente para a fabricação de tinta resulta em lotes diários que se constatou serem normalmente distribuídos, com média 800 t, desvio padrão 30 t. É sugerida uma modificação nesse processo, com intenção de aumentar a produção. Suponha que os resultados diários, usando o processo modificado, sejam distribuídos normalmente, e suponha que uma amostra extraída em 100 dias escolhidos aleatoriamente da produção com o processo modificado resulte em uma média amostral de 812 t . Teste, ao nível de
de significância as hipóteses:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que nos pede (tudo em números que tirei do enunciado):
- Média sob hipótese nula:
(toneladas). - Desvio-padrão populacional conhecido:
(toneladas) — essa informação foi dada sobre o processo existente, assumimos que vale para a variação no processo modificado. - Tamanho da amostra:
(dias). - Média amostral observada:
(toneladas). - Nível de significância:
. - Hipóteses a testar:
O enunciado pede decidir, ao nível de significância
, se os dados fornecem evidência de que a modificação aumentou a produção média.
Passo 2
Qual teste usar e por quê (explicação didática e simples).
- Quando a distribuição da população é normal e o desvio-padrão populacional
é conhecido, a distribuição da média amostral é normal com média e desvio-padrão . - Para testar
contra usa-se o teste-z unilateral (teste da média com conhecido). - Fórmula básica (apresento como “fórmula de teste”): sob
,
tem distribuição padrão normal
.
Explicando cada símbolo:
Explicando cada símbolo:
-
é a média amostral observada (aqui ); -
é a média sob (aqui ); -
é o desvio-padrão populacional (aqui ); -
é o tamanho da amostra (aqui ); -
é a estatística de teste padronizada que, sob , segue .
Passo 3
Calcular o erro padrão (desvio-padrão da média amostral) e mostrar como fazer passo a passo.
- Primeiro calcule
. Como , . - Agora o erro padrão é
Expliquei: o erro padrão mede a variabilidade esperada da média amostral em torno da média populacional; dividir por
reduz a variabilidade porque médias de amostras maiores variam menos.
Passo 4
Calcular a estatística de teste
com a fórmula e com contas explicadas.
- Usando a fórmula,
- Calcule o numerador:
. - Divida:
.
Portanto
Passo 5
Determinar a região crítica (valor crítico) para o teste unilateral ao nível
e explicar como obter.
- Para um teste unilateral à direita com nível
, o valor crítico é o quantil da normal padrão. Aqui , então usamos . - A partir da tabela da normal padrão ou de uma calculadora estatística, o quantil é aproximadamente
- Regra de decisão: rejeita-se
se .
Passo 6
Compare a estatística com o valor crítico e tome a decisão (passo a passo e interpretação).
- Temos
e . - Como
, a estatística cai na região crítica. - Conclusão: rejeita-se
ao nível de significância .
Interpretação em palavras: os dados amostrais fornecem evidência estatística forte, ao nível de, de que a média de produção com o processo modificado é maior que toneladas.
Passo 7
Cálculo do p-valor (como calcular e interpretar).
- O p-valor para um teste unilateral à direita é
, onde é a função de distribuição acumulada da normal padrão. - Com
,
- Usando tabela/calculadora,
, logo
- Como
, isso confirma fortemente a decisão de rejeitar . Em linguagem mais casual: a chance de observar uma média tão alta quanto (ou maior) se a verdadeira média fosse é praticamente nula.
Passo 8
Resumo final e dica prática para a prova (como resumir rápido numa resposta de prova).
- Passos que você deve escrever rápido na prova: (1) hipóteses; (2) estatística
; (3) calcular erro padrão e ; (4) valor crítico ; (5) comparar e concluir. - Aqui os números principais:
, , , . Decisão: rejeita-se . - Motivação final: há evidência estatística, ao nível de
, de que a modificação aumentou a produção média diária.
Resposta
Rejeita-se
; há evidências, ao nível de
, de que
.