Um processo existente para a fabricação de tinta resulta em lotes diários que se constatou serem normalmente distribuídos, com média 800 t, desvio padrão 30 t. É sugerida uma modificação nesse processo, com intenção de aumentar a produção. Suponha que os resultados diários, usando o processo modificado, sejam distribuídos normalmente, e suponha que uma amostra extraída em 100 dias escolhidos aleatoriamente da produção com o processo modificado resulte em uma média amostral de 812 t . Teste, ao nível de 1 \% de significância as hipóteses:
\mathrm{H}_{0}: \mu=800 \text { versus } \mathrm{H}_{\mathrm{a}}: \mu>800

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que nos pede (tudo em números que tirei do enunciado):
  • Média sob hipótese nula: \mu_0=800 (toneladas).
  • Desvio-padrão populacional conhecido: \sigma=30 (toneladas) — essa informação foi dada sobre o processo existente, assumimos que vale para a variação no processo modificado.
  • Tamanho da amostra: n=100 (dias).
  • Média amostral observada: \bar{x}=812 (toneladas).
  • Nível de significância: \alpha=1\%=0,01.
  • Hipóteses a testar:
\mathrm{H}_{0}: \mu=800 \quad\text{versus}\quad \mathrm{H}_{\mathrm{a}}: \mu>800.
O enunciado pede decidir, ao nível de significância 1\%, se os dados fornecem evidência de que a modificação aumentou a produção média.

Passo 2

Qual teste usar e por quê (explicação didática e simples).
  • Quando a distribuição da população é normal e o desvio-padrão populacional \sigma é conhecido, a distribuição da média amostral \bar{X} é normal com média \mu e desvio-padrão \sigma_{\bar{X}}=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}.
  • Para testar \mathrm{H}_0:\mu=\mu_0 contra \mathrm{H}_a:\mu>\mu_0 usa-se o teste-z unilateral (teste da média com \sigma conhecido).
  • Fórmula básica (apresento como “fórmula de teste”): sob \mathrm{H}_0,
Z=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}
tem distribuição padrão normal N(0,1).
Explicando cada símbolo:
  • \bar{X} é a média amostral observada (aqui \bar{x}=812);
  • \mu_0 é a média sob \mathrm{H}_0 (aqui 800);
  • \sigma é o desvio-padrão populacional (aqui 30);
  • n é o tamanho da amostra (aqui 100);
  • Z é a estatística de teste padronizada que, sob \mathrm{H}_0, segue N(0,1).

Passo 3

Calcular o erro padrão (desvio-padrão da média amostral) e mostrar como fazer passo a passo.
  • Primeiro calcule \sqrt{n}. Como n=100, \sqrt{n}=10.
  • Agora o erro padrão é
\sigma_{\bar{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{30}{10}=3.
Expliquei: o erro padrão mede a variabilidade esperada da média amostral em torno da média populacional; dividir por \sqrt{n} reduz a variabilidade porque médias de amostras maiores variam menos.

Passo 4

Calcular a estatística de teste Z com a fórmula e com contas explicadas.
  • Usando a fórmula,
Z=\frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}=\frac{812-800}{3}.
  • Calcule o numerador: 812-800=12.
  • Divida: \dfrac{12}{3}=4.
    Portanto
Z=4.

Passo 5

Determinar a região crítica (valor crítico) para o teste unilateral ao nível \alpha=0,01 e explicar como obter.
  • Para um teste unilateral à direita com nível \alpha, o valor crítico é o quantil z_{1-\alpha} da normal padrão. Aqui \alpha=0,01, então usamos z_{0,99}.
  • A partir da tabela da normal padrão ou de uma calculadora estatística, o quantil é aproximadamente
z_{0,99}\approx 2,3263.
  • Regra de decisão: rejeita-se \mathrm{H}_0 se Z>z_{0,99}.

Passo 6

Compare a estatística com o valor crítico e tome a decisão (passo a passo e interpretação).
  • Temos Z=4 e z_{0,99}\approx 2,3263.
  • Como 4>2,3263, a estatística cai na região crítica.
  • Conclusão: rejeita-se \mathrm{H}_0 ao nível de significância 1\%.
    Interpretação em palavras: os dados amostrais fornecem evidência estatística forte, ao nível de 1\%, de que a média de produção com o processo modificado é maior que 800 toneladas.

Passo 7

Cálculo do p-valor (como calcular e interpretar).
  • O p-valor para um teste unilateral à direita é p = 1-\Phi(Z), onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão.
  • Com Z=4,
p = 1-\Phi(4).
  • Usando tabela/calculadora, \Phi(4)\approx 0,9999683, logo
p\approx 1-0,9999683=0,0000317\approx 3,17\times10^{-5}.
  • Como p\ll 0,01, isso confirma fortemente a decisão de rejeitar \mathrm{H}_0. Em linguagem mais casual: a chance de observar uma média tão alta quanto 812 (ou maior) se a verdadeira média fosse 800 é praticamente nula.

Passo 8

Resumo final e dica prática para a prova (como resumir rápido numa resposta de prova).
  • Passos que você deve escrever rápido na prova: (1) hipóteses; (2) estatística Z=(\bar{x}-\mu_0)/(\sigma/\sqrt{n}); (3) calcular erro padrão e Z; (4) valor crítico z_{1-\alpha}; (5) comparar e concluir.
  • Aqui os números principais: \sigma_{\bar{X}}=3, Z=4, z_{0,99}\approx 2,3263, p\approx 3,17\times10^{-5}. Decisão: rejeita-se \mathrm{H}_0.
  • Motivação final: há evidência estatística, ao nível de 1\%, de que a modificação aumentou a produção média diária.

Resposta

Rejeita-se \mathrm{H}_0; há evidências, ao nível de 1\%, de que \mu>800.

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