Se você deseja estar
confiante de estimar a média aritmética da população, com uma amplitude de intervalo de no máximo 10, e se caso o desvio-padrão seja considerado igual a 10, que tamanho de amostra se faz necessário?
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o tamanho da amostra necessário para estimar a média populacional com confiança de
e com “amplitude de intervalo” de no máximo
. As informações fornecidas são:
- Nível de confiança:
. - Amplitude máxima do intervalo:
. - Desvio-padrão populacional conhecido:
.
Pergunta que vamos responder: qual o menor
que garante um intervalo de confiança para a média com amplitude (comprimento total)
ao nível de confiança
.
Passo 2
Primeiro vamos definir o que é o intervalo de confiança e os símbolos que usaremos. Para média populacional com desvio-padrão conhecido, o intervalo de confiança para a média tem a forma
Aqui:
-
é a média amostral (não precisamos de um valor específico para para calcular ). -
é o quantil da distribuição Normal padrão correspondente a (para nível de confiança ). -
é o desvio-padrão populacional (fornecido: ). -
é o tamanho da amostra (o que queremos achar). - A margem de erro (meio da amplitude) é
.
Observação importante sobre “amplitude”: o comprimento total do intervalo é
. Como o enunciado pede amplitude máxima
, vamos tomar
(Se quem formulou o enunciado tivesse querido dizer margem de erro igual a
em vez do comprimento, o procedimento é idêntico, apenas com
; mostrarei esse caso ao final.)
Passo 3
Isolando
da fórmula da margem de erro:
Essa é a fórmula que vamos usar. Lembre-se: depois de calcular
real (possivelmente não inteiro) devemos arredondar para cima (usar teto) para garantir que o erro máximo não ultrapasse o desejado.
Passo 4
Para nível de confiança
temos
e
. O valor crítico da Normal padrão é aproximadamente
(Isto vem da tabela da Normal padrão:
.)
Passo 5
Agora substituímos os valores:
,
(porque
),
.
Calcule passo a passo:
Calcule passo a passo:
Passo 6
Como
deve ser inteiro e precisamos garantir que a amplitude não exceda
, arredondamos para cima:
Portanto é necessário coletar
observações.
Observação adicional (caso a intenção fosse outra): se por "amplitude de intervalo de no máximo
" a pessoa tivesse na verdade desejado que a margem de erro fosse
(isto é, meio-intervalo
), então a conta seria
e assim
. Mas isso corresponderia a um intervalo com comprimento
, não
. Por isso justifiquei a escolha
acima.