Se você deseja estar 95 \% confiante de estimar a média aritmética da população, com uma amplitude de intervalo de no máximo 10, e se caso o desvio-padrão seja considerado igual a 10, que tamanho de amostra se faz necessário?

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o tamanho da amostra necessário para estimar a média populacional com confiança de 95\% e com “amplitude de intervalo” de no máximo 10. As informações fornecidas são:
  • Nível de confiança: 95\%.
  • Amplitude máxima do intervalo: 10.
  • Desvio-padrão populacional conhecido: \sigma=10.
Pergunta que vamos responder: qual o menor n que garante um intervalo de confiança para a média com amplitude (comprimento total) \le 10 ao nível de confiança 95\%.

Passo 2

Primeiro vamos definir o que é o intervalo de confiança e os símbolos que usaremos. Para média populacional com desvio-padrão conhecido, o intervalo de confiança para a média tem a forma
\bar{X}\pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Aqui:
  • \bar{X} é a média amostral (não precisamos de um valor específico para \bar{X} para calcular n).
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição Normal padrão correspondente a \alpha/2 (para nível de confiança 1-\alpha).
  • \sigma é o desvio-padrão populacional (fornecido: \sigma=10).
  • n é o tamanho da amostra (o que queremos achar).
  • A margem de erro (meio da amplitude) é E = z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Observação importante sobre “amplitude”: o comprimento total do intervalo é 2E. Como o enunciado pede amplitude máxima 10, vamos tomar
2E \le 10 \quad\Rightarrow\quad E \le 5.
(Se quem formulou o enunciado tivesse querido dizer margem de erro igual a 10 em vez do comprimento, o procedimento é idêntico, apenas com E=10; mostrarei esse caso ao final.)

Passo 3

Isolando n da fórmula da margem de erro:
E = z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}
\Rightarrow \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2}\sigma}{E}
\Rightarrow n = \left(\frac{z_{\alpha/2}\sigma}{E}\right)^{2}.
Essa é a fórmula que vamos usar. Lembre-se: depois de calcular n real (possivelmente não inteiro) devemos arredondar para cima (usar teto) para garantir que o erro máximo não ultrapasse o desejado.

Passo 4

Para nível de confiança 95\% temos \alpha=0{,}05 e \alpha/2=0{,}025. O valor crítico da Normal padrão é aproximadamente
z_{0{,}025}=1{,}96.
(Isto vem da tabela da Normal padrão: P(Z>1{,}96)=0{,}025.)

Passo 5

Agora substituímos os valores: \sigma=10, E=5 (porque 2E=10), z_{0{,}025}=1{,}96.
Calcule passo a passo:
z_{0{,}025}\sigma = 1{,}96 \times 10 = 19{,}6.
\frac{z_{0{,}025}\sigma}{E} = \frac{19{,}6}{5} = 3{,}92.
n = (3{,}92)^{2} = 15{,}3664.

Passo 6

Como n deve ser inteiro e precisamos garantir que a amplitude não exceda 10, arredondamos para cima:
n = \lceil 15{,}3664\rceil = 16.
Portanto é necessário coletar 16 observações.
Observação adicional (caso a intenção fosse outra): se por "amplitude de intervalo de no máximo 10" a pessoa tivesse na verdade desejado que a margem de erro fosse E=10 (isto é, meio-intervalo =10), então a conta seria
n=\left(\frac{1{,}96\times 10}{10}\right)^{2}=(1{,}96)^{2}\approx 3{,}8416,
e assim n=\lceil 3{,}8416\rceil=4. Mas isso corresponderia a um intervalo com comprimento 2E=20, não 10. Por isso justifiquei a escolha E=5 acima.

Resposta

n=16

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