(3,0 pontos) A fabricação de uma lata de refrigerante cilindrica segue os seguintes padrões:
  • A Lateral: Geralmente é a parte mais barata por unidade de área. O metal é mais fino e o processo de fabricação (extrusào) é altamente eficiente.
  • A Base Inferior: Precisa ser um pouco mais espessa e ter um formato côncavo para suportar a pressão interna do gás sem “estufar”.
  • A Base Superior (Tampa): É a parte mais cara. Ela exige um aluminio mais rigido e liga diferenciada para o mecanismo do lacre (o “pull tab”) e para garantir que a lata não exploda sob pressão.
Uma lata cilindrica deve conter 135 \pi \mathrm{~cm}^{3} de líquido. O custo do material da base inferior é o dobro do custo do material da lateral, e o custo do material da base superior é o triplo do custo do material da lateral. Determine o raio e a altura da lata que minimizam o custo total de fabricação.
A=3 \pi r^{2}+2 \pi r^{2}+2 \pi r h \rightarrow f(r, h) \rightarrow A=5 \pi r^{2}+2 \pi r h

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos:
  • Pede: determinar o raio e a altura da lata cilíndrica que minimizam o custo total de fabricação.
  • Dados numéricos: o volume da lata é \displaystyle V=135\pi\\ \mathrm{cm}^3.
  • Relação de custos por unidade de área (tomando o custo por área da lateral como referência c):
    • lateral: custo por área =c;
    • base inferior: custo por área =2c;
    • base superior (tampa): custo por área =3c.
  • Áreas das partes (para um cilindro de raio r e altura h):
    • área lateral =2\pi r h;
    • área de cada base =\pi r^{2}.
Objetivo claro: montar a expressão do custo total em função de r e h, usar a restrição do volume para eliminar h, obter uma função só de r e minimizar essa função com cálculo (derivada).

Passo 2

Montar a expressão do custo total.
  • Custo da lateral: c\cdot(2\pi r h).
  • Custo da base inferior: 2c\cdot(\pi r^{2}).
  • Custo da base superior: 3c\cdot(\pi r^{2}).
Somando:
\text{Custo total}=c\big(2\pi r h\big)+2c\big(\pi r^{2}\big)+3c\big(\pi r^{2}\big).
Fatorando c (constante positiva que não altera a posição do mínimo) obtemos que minimizar o custo é equivalente a minimizar
A(r,h)=2\pi r h + (2+3)\pi r^{2}=2\pi r h + 5\pi r^{2}.
Assim podemos trabalhar com a função
A(r,h)=5\pi r^{2}+2\pi r h,
que já foi indicada no enunciado. Note que c foi omitido porque é multiplicador positivo.

Passo 3

Usar a restrição do volume para eliminar h.
A restrição é
\pi r^{2} h = 135\pi.
Cancelando \pi dos dois lados:
r^{2} h = 135.
Isolando h:
h=\frac{135}{r^{2}}.
Unidades: r em \mathrm{cm} implica h em \mathrm{cm}.

Passo 4

Substituir h em A(r,h) para obter uma função de uma variável.
Substituindo h=\dfrac{135}{r^{2}} em
A(r,h)=5\pi r^{2}+2\pi r h
A(r)=5\pi r^{2}+2\pi r\cdot\frac{135}{r^{2}}=5\pi r^{2}+\frac{270\pi}{r}.
Agora temos A como função de r>0: \displaystyle A(r)=5\pi r^{2}+270\pi r^{-1}.

Passo 5

Encontrar o mínimo de A(r) calculando a derivada e achando pontos críticos.
Derivando termo a termo (lembrete: \dfrac{d}{dr}r^{2}=2r e \dfrac{d}{dr}r^{-1}=-r^{-2}):
A'(r)=\frac{d}{dr}\big(5\pi r^{2}\big)+\frac{d}{dr}\big(270\pi r^{-1}\big)=10\pi r -270\pi r^{-2}.
Para pontos críticos, resolvemos A'(r)=0:
10\pi r -270\pi r^{-2}=0.
Dividindo por 10\pi (é positivo):
r -27 r^{-2}=0.
Multiplicando por r^{2}:
r^{3}-27=0 \quad\Longrightarrow\quad r^{3}=27.
Portanto
r=\sqrt[3]{27}=3\\ \mathrm{cm}.

Passo 6

Verificar que o ponto crítico é mínimo (teste da segunda derivada).
Calcule a segunda derivada:
A''(r)=\frac{d}{dr}\big(10\pi r -270\pi r^{-2}\big)=10\pi +540\pi r^{-3}.
Em r=3:
A''(3)=10\pi +540\pi\cdot 3^{-3}=10\pi +540\pi\cdot\frac{1}{27}=10\pi +20\pi=30\pi>0.
Como A''(3)>0, a função A(r) tem mínimo local (e único) em r=3. Como A(r)\to\infty quando r\to0^{+} ou r\to\infty, esse mínimo é global.

Passo 7

Calcular a altura correspondente h.
Usando h=\dfrac{135}{r^{2}} com r=3:
h=\frac{135}{3^{2}}=\frac{135}{9}=15\\ \mathrm{cm}.
Observação útil para memorização: aqui ficou h=5r (porque 15=5\cdot3), mas isso dependia dos coeficientes dos custos.

Resposta

r=3\\ \mathrm{cm}
h=15\\ \mathrm{cm}

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