(3,0 pontos) A fabricação de uma lata de refrigerante cilindrica segue os seguintes padrões:
- A Lateral: Geralmente é a parte mais barata por unidade de área. O metal é mais fino e o processo de fabricação (extrusào) é altamente eficiente.
- A Base Inferior: Precisa ser um pouco mais espessa e ter um formato côncavo para suportar a pressão interna do gás sem “estufar”.
- A Base Superior (Tampa): É a parte mais cara. Ela exige um aluminio mais rigido e liga diferenciada para o mecanismo do lacre (o “pull tab”) e para garantir que a lata não exploda sob pressão.
Uma lata cilindrica deve conter
de líquido. O custo do material da base inferior é o dobro do custo do material da lateral, e o custo do material da base superior é o triplo do custo do material da lateral. Determine o raio e a altura da lata que minimizam o custo total de fabricação.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos:
- Pede: determinar o raio e a altura da lata cilíndrica que minimizam o custo total de fabricação.
- Dados numéricos: o volume da lata é
. - Relação de custos por unidade de área (tomando o custo por área da lateral como referência
): - lateral: custo por área
; - base inferior: custo por área
; - base superior (tampa): custo por área
.
- lateral: custo por área
- Áreas das partes (para um cilindro de raio
e altura ): - área lateral
; - área de cada base
.
- área lateral
Objetivo claro: montar a expressão do custo total em função de
e
, usar a restrição do volume para eliminar
, obter uma função só de
e minimizar essa função com cálculo (derivada).
Passo 2
Montar a expressão do custo total.
- Custo da lateral:
. - Custo da base inferior:
. - Custo da base superior:
.
Somando:
Fatorando
(constante positiva que não altera a posição do mínimo) obtemos que minimizar o custo é equivalente a minimizar
Assim podemos trabalhar com a função
que já foi indicada no enunciado. Note que
foi omitido porque é multiplicador positivo.
Passo 3
Usar a restrição do volume para eliminar
.
A restrição é
Cancelando
dos dois lados:
Isolando
:
Unidades:
em
implica
em
.
Passo 4
Substituir
em
para obter uma função de uma variável.
Substituindo
em
dá
Agora temos
como função de
:
.
Passo 5
Encontrar o mínimo de
calculando a derivada e achando pontos críticos.
Derivando termo a termo (lembrete:
e
):
Para pontos críticos, resolvemos
:
Dividindo por
(é positivo):
Multiplicando por
:
Portanto
Passo 6
Verificar que o ponto crítico é mínimo (teste da segunda derivada).
Calcule a segunda derivada:
Em
:
Como
, a função
tem mínimo local (e único) em
. Como
quando
ou
, esse mínimo é global.
Passo 7
Calcular a altura correspondente
.
Usando
com
:
Observação útil para memorização: aqui ficou
(porque
), mas isso dependia dos coeficientes dos custos.