Exercício 3.5 Resolva as equações diferenciais dadas usando variáveis separáveis.
Passo 1
O enunciado dá a seguinte equação diferencial e pede sua solução geral:
Informações/objetivos que extraí do enunciado:
- A função desconhecida é
. - A equação relaciona
, sua derivada e funções de . - Precisa-se encontrar a família de soluções (constante de integração incluída) e considerar possíveis soluções constantes.
Passo 2
Verificar soluções constantes simples antes de manipular a equação. Se
, então
e a equação fica
que é verdadeira. Portanto
é uma solução válida. Ao separar variáveis abaixo, será necessário lembrar que dividimos por
, logo essa divisão só vale para soluções com
.
Passo 3
Agora suponha
. Vamos isolar os termos em
de um lado e os termos em
do outro (isso permite integrar cada lado em sua variável):
Explicação didática: escrevemos
e multiplicamos ambos os lados por
e por
para obter uma expressão onde só aparece
do lado esquerdo e só aparece
do lado direito — isso chama-se separar variáveis.
Passo 4
Integrar ambos os lados. Primeiro o lado esquerdo:
Usando a regra de potências para integrais,
para
. Aqui
, então
Logo o lado esquerdo integrado é
(mais uma constante de integração que combinaremos depois).
Passo 5
Agora integrar o lado direito:
Para facilitar, multiplicamos numerador e denominador por
:
Fazendo a substituição
(então
), o integral torna-se
Sabemos que
, então
Voltando a
, obtemos que o lado direito integrado é
(mais a constante de integração).
Passo 6
Igualando as integrais e juntando a constante de integração em um só termo:
onde
é uma constante real arbitrária. Isolando
:
É habitual renomear a constante negativa para uma nova constante
(ou escrever
). Assim:
onde
é constante arbitrária e o denominador não pode ser zero no domínio considerado (isto é,
nos pontos onde se quer definir
). Lembrar também da solução constante encontrada no Passo 2.