Exercício 3.5 Resolva as equações diferenciais dadas usando variáveis separáveis.
\left(e^{x}+e^{-x}\right) \frac{d y}{d x}=y^{2}

Passo 1

O enunciado dá a seguinte equação diferencial e pede sua solução geral:
\left(e^{x}+e^{-x}\right)\frac{dy}{dx}=y^{2}.
Informações/objetivos que extraí do enunciado:
  • A função desconhecida é y(x).
  • A equação relaciona y, sua derivada \dfrac{dy}{dx} e funções de x.
  • Precisa-se encontrar a família de soluções (constante de integração incluída) e considerar possíveis soluções constantes.

Passo 2

Verificar soluções constantes simples antes de manipular a equação. Se y(x)\equiv 0, então \dfrac{dy}{dx}=0 e a equação fica
\left(e^{x}+e^{-x}\right)\cdot 0 = 0,
que é verdadeira. Portanto y(x)\equiv 0 é uma solução válida. Ao separar variáveis abaixo, será necessário lembrar que dividimos por y^{2}, logo essa divisão só vale para soluções com y\neq 0.

Passo 3

Agora suponha y\neq 0. Vamos isolar os termos em y de um lado e os termos em x do outro (isso permite integrar cada lado em sua variável):
\left(e^{x}+e^{-x}\right)\frac{dy}{dx}=y^{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{y^{2}}\,dy=\frac{1}{e^{x}+e^{-x}}\,dx.
Explicação didática: escrevemos \dfrac{dy}{dx} e multiplicamos ambos os lados por dx e por \dfrac{1}{y^{2}} para obter uma expressão onde só aparece y do lado esquerdo e só aparece x do lado direito — isso chama-se separar variáveis.

Passo 4

Integrar ambos os lados. Primeiro o lado esquerdo:
\int \frac{1}{y^{2}}\,dy=\int y^{-2}\,dy.
Usando a regra de potências para integrais, \int y^{n}\,dy=\dfrac{y^{n+1}}{n+1} para n\neq -1. Aqui n=-2, então
\int y^{-2}\,dy = \frac{y^{-1}}{-1} = -\frac{1}{y}.
Logo o lado esquerdo integrado é -\dfrac{1}{y} (mais uma constante de integração que combinaremos depois).

Passo 5

Agora integrar o lado direito:
\int \frac{1}{e^{x}+e^{-x}}\,dx.
Para facilitar, multiplicamos numerador e denominador por e^{x}:
\frac{1}{e^{x}+e^{-x}}=\frac{e^{x}}{e^{2x}+1}.
Fazendo a substituição u=e^{x} (então du=e^{x}dx), o integral torna-se
\int \frac{e^{x}}{e^{2x}+1}\,dx=\int \frac{du}{u^{2}+1}.
Sabemos que \dfrac{d}{du}\big(\arctan u\big)=\dfrac{1}{1+u^{2}}, então
\int \frac{du}{u^{2}+1}=\arctan u.
Voltando a x, obtemos que o lado direito integrado é \arctan\big(e^{x}\big) (mais a constante de integração).

Passo 6

Igualando as integrais e juntando a constante de integração em um só termo:
-\frac{1}{y}=\arctan\big(e^{x}\big)+C,
onde C é uma constante real arbitrária. Isolando y:
\frac{1}{y}=-\arctan\big(e^{x}\big)-C.
É habitual renomear a constante negativa para uma nova constante C_{1} (ou escrever C-\arctan(e^{x})). Assim:
y(x)=\frac{1}{C-\arctan\big(e^{x}\big)},
onde C\in\mathbb{R} é constante arbitrária e o denominador não pode ser zero no domínio considerado (isto é, C\neq \arctan(e^{x}) nos pontos onde se quer definir y). Lembrar também da solução constante encontrada no Passo 2.

Resposta

y(x)=\dfrac{1}{C-\arctan\big(e^{x}\big)},\quad C\in\mathbb{R}
y(x)\equiv 0

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