Um laboratório receberá 20 novos computadores para 20 postos de trabalho. São 10 da marca A e 10 da marca B . Se 7 técnicos preferem a marca
preferem a marca B e os demais não têm preferência, qual a probabilidade de todos os técnicos com preferência usarem a marca desejada, se os computadores forem instalados aleatoriamente nos postos?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Há
postos de trabalho e serão instalados computadores. - Dos computadores,
são da marca e são da marca . - Há
técnicos que preferem a marca , que preferem a marca e os restantes não têm preferência. - O número de técnicos que não têm preferência é
.
O que o problema pede:
- Calcular a probabilidade de que, ao instalar aleatoriamente os computadores nos
postos, todos os técnicos que têm preferência recebam a marca desejada (ou seja: todos os que preferem recebam e todos os que preferem recebam ).
Passo 2
Modelo combinatório e espaço amostral (contando resultados equiprováveis).
Quando os computadores são instalados aleatoriamente, uma forma simples de modelar é escolher quais
postos (entre os
) receberão computadores da marca
; os demais
postos receberão
. Cada escolha de um conjunto de
postos para
tem a mesma probabilidade.
O número total de escolhas possíveis para os postos que recebem
é o número de combinações de
itens tomados de
em
, isto é
Aqui ensino rapidamente o que é
:
é o número de maneiras de escolher
elementos dentre
sem ordem. A fórmula é
onde
(lê-se “
fatorial”) é o produto
. Não precisa decorar grandes fatoriais na prova: é suficiente saber a fórmula e, quando possível, simplificar produtos.
Passo 3
Contando os casos favoráveis.
Para que todos os técnicos com preferência fiquem satisfeitos, é necessário simultaneamente:
- que os
técnicos que preferem estejam entre os postos que receberam computadores ; - que os
técnicos que preferem NÃO estejam entre os postos que receberam (ou seja, estejam entre os postos que receberam ).
Isso implica que, entre os
postos escolhidos para
, já estão fixos os
postos dos técnicos que preferem
. Sobram
vagas para
que devem ser ocupadas por postos de técnicos sem preferência. Como há
técnicos sem preferência, o número de maneiras de escolher quais desses neutros recebem
é
Portanto, o número de resultados favoráveis é
.
Passo 4
Expressão da probabilidade e cálculo.
A probabilidade pedida é
Calculemos os valores:
O valor de
é conhecido ou pode ser calculado pela fórmula; seu valor é
Logo
Podemos simplificar a fração dividindo numerador e denominador por
:
Como aproximação decimal,
Passo 5
Interpretação final e dica para a prova.
O valor é muito pequeno: isso significa que, ao alocar computadores aleatoriamente, é extremamente improvável que todos os técnicos com preferência obtenham exatamente a marca desejada. Na prova, ao ver problemas desse tipo, pense em “escolher os postos que recebem A” (ou equivalente) e use combinações para contar total e favoráveis, como fizemos aqui. Sempre verifique se há neutros (pessoas sem preferência) — muitas vezes a escolha favorável reduz a escolher entre eles, como aconteceu.