Um laboratório receberá 20 novos computadores para 20 postos de trabalho. São 10 da marca A e 10 da marca B . Se 7 técnicos preferem a marca \mathrm{A}, 8 preferem a marca B e os demais não têm preferência, qual a probabilidade de todos os técnicos com preferência usarem a marca desejada, se os computadores forem instalados aleatoriamente nos postos?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • 20 postos de trabalho e serão instalados 20 computadores.
  • Dos computadores, 10 são da marca A e 10 são da marca B.
  • 7 técnicos que preferem a marca A, 8 que preferem a marca B e os restantes não têm preferência.
  • O número de técnicos que não têm preferência é 20-(7+8)=5.
O que o problema pede:
  • Calcular a probabilidade de que, ao instalar aleatoriamente os computadores nos 20 postos, todos os técnicos que têm preferência recebam a marca desejada (ou seja: todos os 7 que preferem A recebam A e todos os 8 que preferem B recebam B).

Passo 2

Modelo combinatório e espaço amostral (contando resultados equiprováveis).
Quando os computadores são instalados aleatoriamente, uma forma simples de modelar é escolher quais 10 postos (entre os 20) receberão computadores da marca A; os demais 10 postos receberão B. Cada escolha de um conjunto de 10 postos para A tem a mesma probabilidade.
O número total de escolhas possíveis para os postos que recebem A é o número de combinações de 20 itens tomados de 10 em 10, isto é
\binom{20}{10}.
Aqui ensino rapidamente o que é \binom{n}{k}: \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher k elementos dentre n sem ordem. A fórmula é
\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (lê-se “ n fatorial”) é o produto n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1. Não precisa decorar grandes fatoriais na prova: é suficiente saber a fórmula e, quando possível, simplificar produtos.

Passo 3

Contando os casos favoráveis.
Para que todos os técnicos com preferência fiquem satisfeitos, é necessário simultaneamente:
  • que os 7 técnicos que preferem A estejam entre os 10 postos que receberam computadores A;
  • que os 8 técnicos que preferem B NÃO estejam entre os 10 postos que receberam A (ou seja, estejam entre os 10 postos que receberam B).
Isso implica que, entre os 10 postos escolhidos para A, já estão fixos os 7 postos dos técnicos que preferem A. Sobram 10-7=3 vagas para A que devem ser ocupadas por postos de técnicos sem preferência. Como há 5 técnicos sem preferência, o número de maneiras de escolher quais desses neutros recebem A é
\binom{5}{3}.
Portanto, o número de resultados favoráveis é \binom{5}{3}.

Passo 4

Expressão da probabilidade e cálculo.
A probabilidade pedida é
\frac{\text{número de casos favoráveis}}{\text{número total de casos}}=\frac{\binom{5}{3}}{\binom{20}{10}}.úáú
Calculemos os valores:
\binom{5}{3}=10.
O valor de \binom{20}{10} é conhecido ou pode ser calculado pela fórmula; seu valor é
\binom{20}{10}=184756.
Logo
\text{probabilidade}=\frac{10}{184756}.
Podemos simplificar a fração dividindo numerador e denominador por 2:
\frac{10}{184756}=\frac{5}{92378}.
Como aproximação decimal,
\frac{5}{92378}\approx 0,00005411.

Passo 5

Interpretação final e dica para a prova.
O valor é muito pequeno: isso significa que, ao alocar computadores aleatoriamente, é extremamente improvável que todos os técnicos com preferência obtenham exatamente a marca desejada. Na prova, ao ver problemas desse tipo, pense em “escolher os postos que recebem A” (ou equivalente) e use combinações para contar total e favoráveis, como fizemos aqui. Sempre verifique se há neutros (pessoas sem preferência) — muitas vezes a escolha favorável reduz a escolher entre eles, como aconteceu.

Resposta

\dfrac{\binom{5}{3}}{\binom{20}{10}}=\dfrac{5}{92378}\approx 0,00005411

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