Q1. (3,0 pontos). Uma fonte de luz laser monocromática com comprimento de onda \lambda= 589 nm no vácuo é dividida em dois feixes paralelos que viajam inicialmente pelo ar ( n \approx 1,00 ). No caminho do feixe 1 , é inserida uma lâmina de vidro de espessura L=2,50 \mu \mathrm{~m} e índice de refração n_{1}=1,60. No caminho do feixe 2 , é inserida uma lâmina de polímero de mesma espessura L, mas com índice de refração n_{2}=1,45.
a) Determine o comprimento de onda da luz dentro de cada um dos materiais, \lambda_{1} e \lambda_{2}(0,75 pontos).
b) Calcule a diferença de caminho óptico ( \Delta L_{o p} ) entre os dois feixes após atravessarem as lâminas ( 0,75 pontos).
c) Determine a diferença de fase relativa \varphi (em radianos) entre os dois feixes no instante em que emergem das lâminas ( 0,75 pontos).
d) Se esses dois feixes forem sobrepostos em um anteparo, a interferência resultante será construtiva,.strutiva ou intermediária? Justifique com base no valor de \varphi ( 0,75 pontos).

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo que vem abaixo são os dados que vou usar):
  • Comprimento de onda no vácuo (ar) \lambda = 589\\ \text{nm}.
  • Espessura das duas lâminas L = 2{,}50\\ \mu\text{m}.
  • Índices de refração: n_{1}=1{,}60 (vidro) e n_{2}=1{,}45 (polímero).
    As perguntas são:
    a) Determinar o comprimento de onda da luz dentro de cada material, \lambda_{1} e \lambda_{2}.
    b) Calcular a diferença de caminho óptico \Delta L_{op} entre os dois feixes após atravessarem as lâminas.
    c) Determinar a diferença de fase relativa \varphi (em radianos) entre os dois feixes ao emergirem.
    d) Dizer se a interferência será construtiva, destrutiva ou intermediária, justificando com base em \varphi.

Passo 2

Conceito necessário: relação entre comprimento de onda no vácuo e no meio.
  • A frequência f da luz não muda quando ela entra num meio; o que muda é a velocidade v e portanto o comprimento de onda \lambda, porque vale
\lambda = \frac{v}{f}.
  • No vácuo (ou ar aproximado) v_0 = c e \lambda_0 = \lambda dado. No meio com índice n a velocidade é v = \dfrac{c}{n}. Assim o comprimento de onda no meio é
\lambda_{\text{meio}} = \frac{v}{f} = \frac{c/n}{f} = \frac{1}{n}\,\frac{c}{f} = \frac{\lambda_{0}}{n}.
Aqui:
  • \lambda_{0} é o comprimento de onda no vácuo (ou ar), neste problema \lambda_{0}=589\\ \text{nm}.
  • n é o índice do meio.
    Agora aplico essa fórmula para cada lâmina.

Passo 3

Cálculo de \lambda_{1} (no vidro) e \lambda_{2} (no polímero).
  • Para o vidro ( n_{1}=1{,}60):
\lambda_{1}=\frac{\lambda_{0}}{n_{1}}=\frac{589\\ \text{nm}}{1{,}60}=368{,}125\\ \text{nm}.
  • Para o polímero ( n_{2}=1{,}45):
\lambda_{2}=\frac{\lambda_{0}}{n_{2}}=\frac{589\\ \text{nm}}{1{,}45}=406{,}207\\ \text{nm}.
Observação prática: é comum arredondar conforme o número de algarismos significativos pedidos (por exemplo 368{,}1\\ \text{nm} e 406{,}2\\ \text{nm}), mas os valores calculados acima são os exatos com as cifras usadas.

Passo 4

Conceito necessário: caminho óptico e diferença de fase.
  • O caminho óptico percorrido por uma onda em um meio homogêneo é definido como \text{OPL}=n\,L. Isso é a “distância óptica” que conta para a acumulação de fase (um meio mais refringente equivale a um caminho maior em termos de fase).
  • Como os dois feixes atravessam lâminas da mesma espessura L, a diferença de caminho óptico entre os feixes após as lâminas é
\Delta L_{op}=n_{1}L - n_{2}L=(n_{1}-n_{2})L.
Agora calculo numericamente. Para manipular unidades de forma simples uso L=2{,}50\\ \mu\text{m}=2500\\ \text{nm}:
\Delta L_{op}=(1{,}60-1{,}45)\times2500\\ \text{nm}=0{,}15\times2500\\ \text{nm}=375\\ \text{nm}.
Em metros isto é \Delta L_{op}=3{,}75\times10^{-7}\\ \text{m}.

Passo 5

Conceito necessário: relação entre diferença de caminho óptico e diferença de fase.
  • A fase acumulada por uma onda ao atravessar uma distância d no vácuo é k d, com k=2\pi/\lambda_{0} o número de onda no vácuo. Em um meio, a fase acumulada é k n d. Portanto a diferença de fase entre os dois feixes causada somente pelas lâminas é
\varphi = k\,(n_{1}L-n_{2}L)=\frac{2\pi}{\lambda_{0}}\,\Delta L_{op}.
Substituindo \Delta L_{op}=375\\ \text{nm} e \lambda_{0}=589\\ \text{nm}:
\varphi = 2\pi\frac{375}{589}.
Faço a conta:
\frac{375}{589}\approx0{,}636506\quad\Rightarrow\quad \varphi \approx 2\pi\times0{,}636506 \approx 4{,}00\\ \text{rad}.
(Arredondei a fase para duas casas relevantes: \varphi\approx4{,}00\\ \text{rad}.)

Passo 6

Interpretação física e resposta da parte (d).
  • Regra prática para interferência entre dois feixes (considerando só a diferença de fase por transmissão e sem virar fases extras em reflexões):
    • Se \varphi = 2\pi m (com m inteiro) a interferência é construtiva máxima (franja brilhante).
    • Se \varphi = (2m+1)\pi a interferência é destrutiva máxima (franja escura).
    • Se \varphi é outro valor, a interferência é intermediária (nem máxima nem mínima; intensidade parcial).
  • Aqui \varphi \approx 4{,}00\\ \text{rad}. Como \pi\approx3{,}1416 e 2\pi\approx6{,}2832, observa-se que 4{,}00 não é múltiplo de \pi nem de 2\pi. Logo a interferência será intermediária (nem plenamente construtiva nem plenamente destrutiva).
  • Palavrinha de incentivo: conseguiu! Essas fórmulas são diretas e basta organizar os dados — já dá para resolver bem esse tipo de questão em prova.

Resposta

a) \lambda_{1}=368{,}125\\ \text{nm},\\ \lambda_{2}=406{,}207\\ \text{nm}
b) \Delta L_{op}=375\\ \text{nm}=3{,}75\times10^{-7}\\ \text{m}
c) \varphi=4{,}00\\ \text{rad}
d) Interferência: intermediária (nem construtiva nem destrutiva)

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