Apresente soluções detalhadas, bem explicadas e justificadas, para as questões abaixo. Sua solução final TEM de ser expressa em termos dos dados do problema!
Um capacitor de placas paralelas é formado por duas placas condutoras planas, quadradas, de lado
, separadas por uma distância
.
(a) Calcule o campo elétrico entre as placas, longe da borda destas, com vácuo entre as placas e carga
no capacitor (ou seja, carga
em uma placa e
na outra).
(b) Calcule a capacitância desse capacitor.
Um capacitor de placas paralelas é formado por duas placas condutoras planas, quadradas, de lado
(a) Calcule o campo elétrico entre as placas, longe da borda destas, com vácuo entre as placas e carga
(b) Calcule a capacitância desse capacitor.
Passo 1
O enunciado fornece um capacitor formado por duas placas condutoras planas, quadradas, de lado
, separadas por uma distância
com
. Há vácuo entre as placas e a placa positiva carrega
e a negativa
. O que pede o problema:
- (a) Calcular o campo elétrico entre as placas, longe das bordas.
- (b) Calcular a capacitância do capacitor, expressando a resposta em função dos dados do problema (
, , , e constantes físicas).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Geometria das placas: quadradas de área
. - Separação entre placas:
, com (isso justifica desprezar efeitos de borda na região central). - Cargas:
em uma placa e na outra. - Meio entre as placas: vácuo (constante dielétrica
).
Passo 2
Observação física e aproximação que vamos usar (por isso o enunciado exigiu
):
- Quando estamos longe das bordas (região central) e
, cada placa pode ser tratada, localmente, como um plano carregado muito extenso (aproximação de plano infinito). Nessa aproximação o campo próximo à placa é praticamente uniforme e as contribuições de “franjas” (bordas) são negligíveis. - Assim, podemos usar o resultado básico para o campo elétrico de uma placa plana carregada com densidade superficial de carga
e a superposição de campos das duas placas.
Vou definir as grandezas que usarei:
-
é a área de cada placa: . -
é a densidade superficial de carga em cada placa: . -
é a permissividade elétrica do vácuo (constante física).
Passo 3
Calcular a densidade superficial de carga
.
- A carga total numa placa é
e a área é . Logo
Explicação didática: densidade superficial
significa “carga por unidade de área”. É a quantidade que aparece naturalmente ao aplicar a Lei de Gauss para uma placa plana.
Passo 4
Campo elétrico de uma placa infinita uniformemente carregada (aplicando a Lei de Gauss).
- Resultado conhecido (que vamos justificar rapidamente): o campo elétrico produzido por uma placa infinita com densidade superficial
é uniforme e tem magnitude de cada lado da placa, apontando para fora se (ou para a placa se ). - Justificativa rápida com Gauss: escolher uma superfície gaussiana em forma de cilindro curto (“pillbox”) atravessando a placa. Se a área da face do cilindro é
, o fluxo total é (duas faces), e a carga dentro é . Pela Lei de Gauss,
- Aqui
é o módulo do campo produzido pela placa, fora dela.
Passo 5
Superposição dos campos das duas placas opostas.
- Temos duas placas paralelas, uma com carga
e outra com carga . Em pontos entre as placas (na região central onde desprezamos bordas) os campos produzidos por cada placa somam-se. - Campo produzido pela placa positiva sozinho aponta para fora da placa (ou seja, em direção da placa negativa) com módulo
. - Campo produzido pela placa negativa sozinho aponta para dentro da placa negativa (ou seja, também em direção da placa negativa) com módulo
. - Portanto, entre as placas os dois vetores têm mesma direção e se somam, dando
- Fora das placas (lado externo), os campos das duas placas têm sentidos opostos e se cancelam (aproximação de placas grandes/infinitas).
Passo 6
Expressar o campo usando
e
.
- Substituindo
na expressão do passo anterior:
- Direção: o campo elétrico aponta do condutor com carga
para o condutor com carga . Em notação vetorial pode-se escrever com sendo o versor que vai da placa positiva para a negativa.
Passo 7
Cálculo da diferença de potencial
entre as placas.
- Entre as placas o campo é essencialmente uniforme e vale
. A diferença de potencial entre as placas separadas por é
- Lembrete didático: para campo uniforme
e distância colinear, .
Passo 8
Cálculo da capacitância
.
- Definição de capacitância:
. - Substituindo
do passo anterior:
- Portanto a capacitância depende da geometria: aumenta com a área
e diminui com a separação . Essa é a fórmula clássica do capacitor de placas paralelas no vácuo.
Passo 9
Comentários finais e validade das expressões.
- As expressões obtidas
e são válidas na aproximação e para pontos longe das bordas (região central), onde o campo é praticamente uniforme. - Se fosse necessário levar em conta efeitos de borda (franjas), a distribuição do campo e a capacitância teriam pequenas correções dependentes da razão
; mas para a prova e para a maioria dos problemas práticos iniciais, as fórmulas dadas são as usadas.
Resposta
(a)
, dirigida da placa com carga
para a placa com carga
.\n
(b) .
(b)