Apresente soluções detalhadas, bem explicadas e justificadas, para as questões abaixo. Sua solução final TEM de ser expressa em termos dos dados do problema!
Um capacitor de placas paralelas é formado por duas placas condutoras planas, quadradas, de lado boldsymbol{L}, separadas por uma distância boldsymbol{d} \ll \boldsymbol{L}.
(a) Calcule o campo elétrico entre as placas, longe da borda destas, com vácuo entre as placas e carga boldsymbol{Q} no capacitor (ou seja, carga +\boldsymbol{Q} em uma placa e -\boldsymbol{Q} na outra).
(b) Calcule a capacitância desse capacitor.

Passo 1

O enunciado fornece um capacitor formado por duas placas condutoras planas, quadradas, de lado L, separadas por uma distância d com d \ll L. Há vácuo entre as placas e a placa positiva carrega +Q e a negativa -Q. O que pede o problema:
  • (a) Calcular o campo elétrico entre as placas, longe das bordas.
  • (b) Calcular a capacitância do capacitor, expressando a resposta em função dos dados do problema ( Q, L, d, e constantes físicas).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Geometria das placas: quadradas de área A=L^2.
  • Separação entre placas: d, com d\ll L (isso justifica desprezar efeitos de borda na região central).
  • Cargas: +Q em uma placa e -Q na outra.
  • Meio entre as placas: vácuo (constante dielétrica \varepsilon_0).

Passo 2

Observação física e aproximação que vamos usar (por isso o enunciado exigiu d\ll L):
  • Quando estamos longe das bordas (região central) e d\ll L, cada placa pode ser tratada, localmente, como um plano carregado muito extenso (aproximação de plano infinito). Nessa aproximação o campo próximo à placa é praticamente uniforme e as contribuições de “franjas” (bordas) são negligíveis.
  • Assim, podemos usar o resultado básico para o campo elétrico de uma placa plana carregada com densidade superficial de carga \sigma e a superposição de campos das duas placas.
Vou definir as grandezas que usarei:
  • A é a área de cada placa: A=L^2.
  • \sigma é a densidade superficial de carga em cada placa: \sigma=\dfrac{Q}{A}=\dfrac{Q}{L^2}.
  • \varepsilon_0 é a permissividade elétrica do vácuo (constante física).

Passo 3

Calcular a densidade superficial de carga \sigma.
  • A carga total numa placa é Q e a área é A=L^2. Logo
\sigma=\dfrac{Q}{A}=\dfrac{Q}{L^2}.
Explicação didática: densidade superficial \sigma significa “carga por unidade de área”. É a quantidade que aparece naturalmente ao aplicar a Lei de Gauss para uma placa plana.

Passo 4

Campo elétrico de uma placa infinita uniformemente carregada (aplicando a Lei de Gauss).
  • Resultado conhecido (que vamos justificar rapidamente): o campo elétrico produzido por uma placa infinita com densidade superficial \sigma é uniforme e tem magnitude \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0} de cada lado da placa, apontando para fora se \sigma>0 (ou para a placa se \sigma<0).
  • Justificativa rápida com Gauss: escolher uma superfície gaussiana em forma de cilindro curto (“pillbox”) atravessando a placa. Se a área da face do cilindro é A_c, o fluxo total é E A_c + E A_c = 2 E A_c (duas faces), e a carga dentro é \sigma A_c. Pela Lei de Gauss,
2 E A_c=\dfrac{\sigma A_c}{\varepsilon_0}\quad\Rightarrow\quad E=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}.
  • Aqui E é o módulo do campo produzido pela placa, fora dela.

Passo 5

Superposição dos campos das duas placas opostas.
  • Temos duas placas paralelas, uma com carga +\sigma e outra com carga -\sigma. Em pontos entre as placas (na região central onde desprezamos bordas) os campos produzidos por cada placa somam-se.
  • Campo produzido pela placa positiva sozinho aponta para fora da placa (ou seja, em direção da placa negativa) com módulo \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}.
  • Campo produzido pela placa negativa sozinho aponta para dentro da placa negativa (ou seja, também em direção da placa negativa) com módulo \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}.
  • Portanto, entre as placas os dois vetores têm mesma direção e se somam, dando
E_{\text{entre}}=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}+\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}.
  • Fora das placas (lado externo), os campos das duas placas têm sentidos opostos e se cancelam (aproximação de placas grandes/infinitas).

Passo 6

Expressar o campo usando Q e L.
  • Substituindo \sigma=\dfrac{Q}{L^2} na expressão do passo anterior:
E_{\text{entre}}=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}=\dfrac{1}{\varepsilon_0}\cdot\dfrac{Q}{L^2}=\dfrac{Q}{\varepsilon_0 L^2}.
  • Direção: o campo elétrico aponta do condutor com carga +Q para o condutor com carga -Q. Em notação vetorial pode-se escrever \mathbf{E}=\dfrac{Q}{\varepsilon_0 L^2}\,\hat{n} com \hat{n} sendo o versor que vai da placa positiva para a negativa.

Passo 7

Cálculo da diferença de potencial V entre as placas.
  • Entre as placas o campo é essencialmente uniforme e vale E=\dfrac{Q}{\varepsilon_0 L^2}. A diferença de potencial entre as placas separadas por d é
V = E\,d = \dfrac{Q}{\varepsilon_0 L^2}\,d.
  • Lembrete didático: para campo uniforme E e distância d colinear, V= \int E\cdot dl = E d.

Passo 8

Cálculo da capacitância C.
  • Definição de capacitância: C=\dfrac{Q}{V}.
  • Substituindo V do passo anterior:
C=\dfrac{Q}{\dfrac{Q}{\varepsilon_0 L^2}\,d}=\dfrac{\varepsilon_0 L^2}{d}.
  • Portanto a capacitância depende da geometria: aumenta com a área L^2 e diminui com a separação d. Essa é a fórmula clássica do capacitor de placas paralelas no vácuo.

Passo 9

Comentários finais e validade das expressões.
  • As expressões obtidas \displaystyle E=\dfrac{Q}{\varepsilon_0 L^2} e \displaystyle C=\dfrac{\varepsilon_0 L^2}{d} são válidas na aproximação d\ll L e para pontos longe das bordas (região central), onde o campo é praticamente uniforme.
  • Se fosse necessário levar em conta efeitos de borda (franjas), a distribuição do campo e a capacitância teriam pequenas correções dependentes da razão d/L; mas para a prova e para a maioria dos problemas práticos iniciais, as fórmulas dadas são as usadas.

Resposta

(a) \displaystyle E=\dfrac{Q}{\varepsilon_0 L^2}, dirigida da placa com carga +Q para a placa com carga -Q.\n
(b) \displaystyle C=\dfrac{\varepsilon_0 L^2}{d}.

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