Apresente soluções detalhadas, bem explicadas e justificadas, para as questões abaixo. Sua solução final TEM de ser expressa em termos dos dados do problema!
Uma casca esférica de raio interno boldsymbol{a} e raio externo boldsymbol{b} está carregada com a densidade volumétrica de carga elétrica não-uniforme boldsymbol{\rho}(\boldsymbol{r})=\boldsymbol{\rho}_{
\mathbf{0}} \boldsymbol{r}, onde boldsymbol{\rho}_{
\mathbf{0}} é uma constante, e boldsymbol{r} é a distância ao centro da esfera.
(a) Calcule a carga total contida na casca esférica.
(b) Calcule o campo elétrico em um ponto no interior da casca esférica, ou seja, para boldsymbol{a} \leq \boldsymbol{r} \leq \boldsymbol{b}.
(c) Calcule o campo elétrico em um ponto no exterior da casca esférica, ou seja, para boldsymbol{r} \geq \boldsymbol{b}.
Passo 1
O enunciado dá uma casca esférica com raio interno a e raio externo b, carregada com densidade volumétrica não uniforme
\rho(r)=\rho_0\, r,
onde \rho_0 é uma constante e r é a distância ao centro. As perguntas são:
(a) Calcular a carga total contida na casca esférica (ou seja, a carga entre r=a e r=b).
(b) Calcular o campo elétrico em um ponto no interior do material da casca, isto é para a\le r\le b.
(c) Calcular o campo elétrico em um ponto no exterior da casca, isto é para r\ge b.
Informações relevantes fornecidas:
Raio interno: a.
Raio externo: b.
Densidade volumétrica: \rho(r)=\rho_0\,r.
Espaço ao redor presumivelmente vácuo, com permissividade \varepsilon_0.
Nenhuma outra informação numérica foi dada; todas as respostas devem ficar em termos de a, b e \rho_0.
Passo 2
Estratégia e ferramenta principal (motivo e fórmula usada).
A distribuição de carga depende só de r (magnitude da posição) — a situação é esfericamente simétrica. Isso implica que o campo elétrico resultante também será radial e só depende de r: \mathbf{E}(r)=E(r)\,\hat{\mathbf r}.
Para situações com simetria esférica é natural usar a Lei de Gauss. A forma integral da Lei de Gauss é
onde Q_{\text{enc}} é a carga total contida dentro da superfície fechada escolhida.
Para uma superfície gaussiana esférica de raio r (centro coincidente com o centro da casca), \mathbf{E} é normal à superfície e tem módulo constante sobre a esfera, então o lado esquerdo vira
Assim o problema se reduz a calcular Q_{\text{enc}}(r) — a carga contida dentro da esfera de raio r — por integração da densidade volumétrica.
Passo 3
Cálculo da carga total contida na casca esférica (item (a)).
A carga total Q é a integral da densidade volumétrica sobre o volume entre r=a e r=b:
Q=\int_{\text{casca}} \rho(r)\,dV.
Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é dV=4\pi r^2\,dr quando já se integrou as direções angulares devido à simetria (ou explicitamente dV=r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi e integra-se \theta,\varphi para obter 4\pi).
Direção: o campo é radial (para fora se \rho_0>0, para dentro se \rho_0<0). Em forma vetorial:
\mathbf{E}(r)=\frac{\rho_0}{4\varepsilon_0}\left(r^2-\frac{a^4}{r^2}\right)\hat{\mathbf r},\qquad a\le r\le b.
Observação de consistência: em r=a esse E dá zero, o que é consistente com a superfície interna vazia; em r=b este valor coincide com o campo externo avaliado em r=b (continuidade do campo radial neste caso).
Passo 5
Cálculo do campo elétrico para r\ge b (item (c)): campo no exterior da casca.
Para r\ge b a carga envolvida pela superfície esférica de raio r é toda a carga da casca, isto é Q_{\text{enc}}(r)=Q calculada no Passo 3.