Apresente soluções detalhadas, bem explicadas e justificadas, para as questões abaixo. Sua solução final TEM de ser expressa em termos dos dados do problema!
Uma casca esférica de raio interno boldsymbol{a} e raio externo boldsymbol{b} está carregada com a densidade volumétrica de carga elétrica não-uniforme boldsymbol{\rho}(\boldsymbol{r})=\boldsymbol{\rho}_{ \mathbf{0}} \boldsymbol{r}, onde boldsymbol{\rho}_{ \mathbf{0}} é uma constante, e boldsymbol{r} é a distância ao centro da esfera.
(a) Calcule a carga total contida na casca esférica.
(b) Calcule o campo elétrico em um ponto no interior da casca esférica, ou seja, para boldsymbol{a} \leq \boldsymbol{r} \leq \boldsymbol{b}.
(c) Calcule o campo elétrico em um ponto no exterior da casca esférica, ou seja, para boldsymbol{r} \geq \boldsymbol{b}.

Passo 1

O enunciado dá uma casca esférica com raio interno a e raio externo b, carregada com densidade volumétrica não uniforme
\rho(r)=\rho_0\, r,
onde \rho_0 é uma constante e r é a distância ao centro. As perguntas são:
  • (a) Calcular a carga total contida na casca esférica (ou seja, a carga entre r=a e r=b).
  • (b) Calcular o campo elétrico em um ponto no interior do material da casca, isto é para a\le r\le b.
  • (c) Calcular o campo elétrico em um ponto no exterior da casca, isto é para r\ge b.
Informações relevantes fornecidas:
  • Raio interno: a.
  • Raio externo: b.
  • Densidade volumétrica: \rho(r)=\rho_0\,r.
  • Espaço ao redor presumivelmente vácuo, com permissividade \varepsilon_0.
    Nenhuma outra informação numérica foi dada; todas as respostas devem ficar em termos de a, b e \rho_0.

Passo 2

Estratégia e ferramenta principal (motivo e fórmula usada).
  • A distribuição de carga depende só de r (magnitude da posição) — a situação é esfericamente simétrica. Isso implica que o campo elétrico resultante também será radial e só depende de r: \mathbf{E}(r)=E(r)\,\hat{\mathbf r}.
  • Para situações com simetria esférica é natural usar a Lei de Gauss. A forma integral da Lei de Gauss é
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0},
onde Q_{\text{enc}} é a carga total contida dentro da superfície fechada escolhida.
  • Para uma superfície gaussiana esférica de raio r (centro coincidente com o centro da casca), \mathbf{E} é normal à superfície e tem módulo constante sobre a esfera, então o lado esquerdo vira
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\cdot 4\pi r^2.
  • Portanto, para qualquer r a usar-se na Gaussiana,
E(r)=\frac{Q_{\text{enc}}(r)}{4\pi\varepsilon_0 r^2}.
  • Assim o problema se reduz a calcular Q_{\text{enc}}(r) — a carga contida dentro da esfera de raio r — por integração da densidade volumétrica.

Passo 3

Cálculo da carga total contida na casca esférica (item (a)).
  • A carga total Q é a integral da densidade volumétrica sobre o volume entre r=a e r=b:
Q=\int_{\text{casca}} \rho(r)\,dV.
  • Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é dV=4\pi r^2\,dr quando já se integrou as direções angulares devido à simetria (ou explicitamente dV=r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi e integra-se \theta,\varphi para obter 4\pi).
  • Substituindo \rho(r)=\rho_0 r:
Q=\int_{a}^{b} \rho_0\,r \cdot 4\pi r^2\,dr =4\pi\rho_0\int_{a}^{b} r^3\,dr.
  • Calcule a integral:
\int r^3\,dr=\frac{r^4}{4},
logo
Q=4\pi\rho_0\left[\frac{r^4}{4}\right]_{a}^{b} =4\pi\rho_0\cdot\frac{b^4-a^4}{4}.
  • Simplificando o fator 4 com 4\pi:
Q=\pi\rho_0\left(b^4-a^4\right).
Esse é o resultado pedido no item (a).

Passo 4

Cálculo do campo elétrico para a\le r\le b (item (b)): campo dentro do material da casca.
  • Para um ponto com a\le r\le b a carga efetivamente contida dentro da esfera gaussiana de raio r é a carga entre r'=a e r'=r. Logo
Q_{\text{enc}}(r)=\int_{a}^{r} \rho_0 r' \cdot 4\pi r'^2\,dr' =4\pi\rho_0\int_{a}^{r} r'^3\,dr'.
  • Calcule a integral:
\int_{a}^{r} r'^3\,dr'=\left.\frac{r'^4}{4}\right|_{a}^{r} =\frac{r^4-a^4}{4}.
  • Assim
Q_{\text{enc}}(r)=4\pi\rho_0\cdot\frac{r^4-a^4}{4}=\pi\rho_0\left(r^4-a^4\right).
  • Pela Lei de Gauss, o módulo do campo na superfície esférica de raio r é
E(r)=\frac{Q_{\text{enc}}(r)}{4\pi\varepsilon_0 r^2} =\frac{\pi\rho_0\left(r^4-a^4\right)}{4\pi\varepsilon_0 r^2}.
  • Simplificando os \pi:
E(r)=\frac{\rho_0}{4\varepsilon_0}\,\frac{r^4-a^4}{r^2} =\frac{\rho_0}{4\varepsilon_0}\left(r^2-\frac{a^4}{r^2}\right).
  • Direção: o campo é radial (para fora se \rho_0>0, para dentro se \rho_0<0). Em forma vetorial:
\mathbf{E}(r)=\frac{\rho_0}{4\varepsilon_0}\left(r^2-\frac{a^4}{r^2}\right)\hat{\mathbf r},\qquad a\le r\le b.
  • Observação de consistência: em r=a esse E dá zero, o que é consistente com a superfície interna vazia; em r=b este valor coincide com o campo externo avaliado em r=b (continuidade do campo radial neste caso).

Passo 5

Cálculo do campo elétrico para r\ge b (item (c)): campo no exterior da casca.
  • Para r\ge b a carga envolvida pela superfície esférica de raio r é toda a carga da casca, isto é Q_{\text{enc}}(r)=Q calculada no Passo 3.
  • Então, pela Lei de Gauss,
E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} =\frac{\pi\rho_0\left(b^4-a^4\right)}{4\pi\varepsilon_0 r^2}.
  • Simplificando:
E(r)=\frac{\rho_0}{4\varepsilon_0}\,\frac{b^4-a^4}{r^2}.
  • Em forma vetorial e indicando direção radial:
\mathbf{E}(r)=\frac{\rho_0}{4\varepsilon_0}\,\frac{b^4-a^4}{r^2}\,\hat{\mathbf r},\qquad r\ge b.
  • Observação: para grandes r o campo decai como 1/r^2, equivalente ao campo de uma carga pontual Q=\pi\rho_0(b^4-a^4).

Resposta

(a) Q=\pi\rho_0\left(b^4-a^4\right)
(b) \displaystyle \mathbf{E}(r)=\frac{\rho_0}{4\varepsilon_0}\left(r^2-\frac{a^4}{r^2}\right)\hat{\mathbf r},\qquad a\le r\le b
(c) \displaystyle \mathbf{E}(r)=\frac{\rho_0}{4\varepsilon_0}\,\frac{b^4-a^4}{r^2}\,\hat{\mathbf r},\qquad r\ge b

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