(2,0 pontos) Para a função f(x)=4 cos (pi cdot x / 2)
a) Determine os zeros da função.
b) Determine os pontos de máximo e os pontos de mínimo.
c) Determine os intervalos onde a função é crescente e onde ela é decrescente.
d) Faça um esboço do gráfico de f no intervalo de 0 <= x <= 4 pi.

Passo 1

Beleza, a gente tem a função
f(x)=4cos!l(pi x2r)
É um exercício de análise de função:
  • achar os zeros (onde f(x)=0),
  • achar máximos e mínimos (usando derivada),
  • achar intervalos de crescimento e decrescimento (sinal de f'(x)),
  • e desenhar o esboço no intervalo 0<= x<=4pi.
    Para isso vamos usar zeros do cosseno, derivada de cos(ax), teste da segunda derivada, sinal de sin e saber que o período é T=2pipi/2=4 e amplitude 4.

Passo 2

Encontrando os zeros:
f(x)=0;Longrightarrow;4cos!l(tfracpi x2r)=0 ;Longrightarrow;cos!l(tfracpi x2r)=0
Lembrando que costheta=0 em theta=tfracpi2+kpi. Logo
pi x2=pi2+kpi Longrightarrow x=1+2k, kinZ

Passo 3

Buscando máximos e mínimos via derivada:
f'(x) =4ddxl[cos(tfracpi x2)r] =4l[-sin(tfracpi x2)cdottfracpi2r] =-(2pi)sin!l(tfracpi x2r)
Pontos críticos: f'(x)=0 sin(tfracpi x2)=0
pi x2=kpi Longrightarrow x=2k
Segunda derivada para classificar:
f''(x) =-(2pi)ddxl[sin(tfracpi x2)r] =-(2pi)l[cos(tfracpi x2)cdottfracpi2r] =-pi^2cos!l(tfracpi x2r)
Em x=2k: cos(tfracpicdot2k2)=cos(kpi)=(-1)^k, então
f''(2k)=-pi^2(-1)^k =(-1)^k+1pi^2
Se k é par ( k=2m), f''<0 ⇒ máximo em x=4m, valor f(4m)=4.
Se k é ímpar ( k=2m+1), f''>0 ⇒ mínimo em x=2+4m, valor f= -4.

Passo 4

Intervalos de crescimento/decrescimento vendo o sinal de
f'(x)=-(2pi)sin!l(tfracpi x2r)
  • Cresce se f'>0, isto é sin(tfracpi x2)<0. Como sintheta<0 em thetain(pi+2pi k,2pi+2pi k), vem
xin(2+4k,,4+4k)
  • Decresce se f'<0, ou seja sin(tfracpi x2)>0, daí
xin(0+4k,,2+4k)

Passo 5

Esboço no intervalo 0<= x<=4pi:
  • A função é cosseno com amplitude 4 e período T=4.
  • Em x=0: f(0)=4 (máx).
  • Em x=1: f(1)=0.
  • Em x=2: f(2)=-4 (mín).
  • Em x=3: f(3)=0.
  • Em x=4: f(4)=4.
    Isso repete a cada 4 unidades até x=12 (3 períodos) e sobra até 4piapprox12,57. Desenha uma onda suave subindo e descendo nesses pontos.

Resposta

a) Zeros:
x=1+2k, kinZ
b) Máximos:
x=4m,;f(4m)=4; minZ
Mínimos:
x=2+4m,;f(2+4m)=-4; minZ
c) Crescente em
(2+4k,,4+4k),
decrescente em
(0+4k,,2+4k),
para kinZ.
d) Esboço: cosseno de amplitude 4 e período 4, começando em (0,4), passando por (1,0),(2,-4),(3,0),(4,4) e repetindo até x=4pi.

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