(2,0 pontos) Para a função
a) Determine os zeros da função.
b) Determine os pontos de máximo e os pontos de mínimo.
c) Determine os intervalos onde a função é crescente e onde ela é decrescente.
d) Faça um esboço do gráfico de f no intervalo de
.
a) Determine os zeros da função.
b) Determine os pontos de máximo e os pontos de mínimo.
c) Determine os intervalos onde a função é crescente e onde ela é decrescente.
d) Faça um esboço do gráfico de f no intervalo de
Passo 1
Beleza, a gente tem a função
É um exercício de análise de função:
- achar os zeros (onde
), - achar máximos e mínimos (usando derivada),
- achar intervalos de crescimento e decrescimento (sinal de
), - e desenhar o esboço no intervalo
.
Para isso vamos usar zeros do cosseno, derivada de, teste da segunda derivada, sinal de e saber que o período é e amplitude .
Passo 2
Encontrando os zeros:
Lembrando que
em
. Logo
Passo 3
Buscando máximos e mínimos via derivada:
Pontos críticos:
⇒
⇒
Segunda derivada para classificar:
Em
:
, então
Se
é par (
),
⇒ máximo em
, valor
.
Se é ímpar (
),
⇒ mínimo em
, valor
.
Se
Passo 4
Intervalos de crescimento/decrescimento vendo o sinal de
- Cresce se
, isto é . Como em , vem
- Decresce se
, ou seja , daí
Passo 5
Esboço no intervalo
:
- A função é cosseno com amplitude 4 e período
. - Em
: (máx). - Em
: . - Em
: (mín). - Em
: . - Em
: .
Isso repete a cada 4 unidades até(3 períodos) e sobra até . Desenha uma onda suave subindo e descendo nesses pontos.
Resposta
a) Zeros:
b) Máximos:
Mínimos:
c) Crescente em
decrescente em
para
.
d) Esboço: cosseno de amplitude 4 e período 4, começando em , passando por
e repetindo até
.
d) Esboço: cosseno de amplitude 4 e período 4, começando em