Sejam
e
dois vetores de
e
um número real. Prove que:
Passo 1
O enunciado nos pede para mostrar a propriedade de linearidade do produto escalar em
, ou seja, que podemos “fatorar” um escalar
de qualquer das duas componentes do produto escalar. Para isso, vamos usar a definição: se
então
Passo 2
Calculamos primeiro
. Como
, pela definição do produto escalar temos
Passo 3
No lado direito podemos agrupar o escalar
, pois ele é real e comuta com a soma e o produto em
. Logo,
Mas
. Então concluímos
Passo 4
De modo análogo, consideramos
. Agora
e pela definição
Passo 5
Reunindo os resultados dos passos anteriores, temos
o que prova a propriedade desejada.