Sejam u e v dois vetores de R^2 e alpha um número real. Prove que:
u cdot(alpha v)=alpha(u cdot v)=(alpha u) cdot v

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar a propriedade de linearidade do produto escalar em R^2, ou seja, que podemos “fatorar” um escalar alpha de qualquer das duas componentes do produto escalar. Para isso, vamos usar a definição: se
u=(u1,u2), v=(v1,v2),
então
ucdotv=u1v1+u2v2

Passo 2

Calculamos primeiro ucdot(alphav). Como alphav=(alpha v1,alpha v2), pela definição do produto escalar temos
ucdot(alphav) = u1cdot(alpha v1)+u2cdot(alpha v2)

Passo 3

No lado direito podemos agrupar o escalar alpha, pois ele é real e comuta com a soma e o produto em R. Logo,
u1cdot(alpha v1)+u2cdot(alpha v2) =alpha,(u1v1)+alpha,(u2v2) =alpha,(u1v1+u2v2)
Mas u1v1+u2v2=ucdotv. Então concluímos
ucdot(alphav) =alpha,(ucdotv)

Passo 4

De modo análogo, consideramos (alphau)cdotv. Agora alphau=(alpha u1,alpha u2) e pela definição
(alphau)cdotv =(alpha u1),v1+(alpha u2),v2 =alpha,(u1v1)+alpha,(u2v2) =alpha,(u1v1+u2v2) =alpha,(ucdotv)

Passo 5

Reunindo os resultados dos passos anteriores, temos
ucdot(alphav) =alpha,(ucdotv) =(alphau)cdotv,
o que prova a propriedade desejada.

Resposta

ucdot(alphav) =alpha,(ucdotv) =(alphau)cdotv

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