(1,5 pontos) Para a função f(x)=x^3-x^2-x+1
a) Determine os zeros da função e fatore a expressão para a função. Dica: a função tem 3 zeros reais,
b) Determine os intervalos onde a função é positiva e onde é negativa.
c) Baseado nos resultados dos itens anteriores, faça um esboço do gráfico.

Passo 1

Beleza, o enunciado manda a gente trabalhar com a função
f(x)=x^3-x^2-x+1
Isso é conteúdo de álgebra/polinômios: a) achar os zeros (raízes) e fatorar, b) ver onde ela é positiva ou negativa usando uma tabela de sinais, c) desenhar um esboço do gráfico. Para isso vamos precisar de técnicas de fatoração (por agrupamento), conceito de multiplicidade de raiz e análise de sinal em intervalos.

Passo 2

Achar os zeros e fatorar por agrupamento:
  1. Escreve a função em dois pares:
f(x)=l(x^3-x^2r);+;l(-x+1r)
  1. Em cada paralelo fatoramos o maior fator:
x^2(x-1);-;1(x-1)
  1. Agora aparece (x-1) em comum, então
f(x)=(x-1)l(x^2-1r)
  1. E ,x^2-1 é diferença de quadrados, logo
x^2-1=(x-1)(x+1)
  1. No final a fatoração é
f(x)=(x-1)(x-1)(x+1)=(x-1)^2(x+1)
As raízes vêm de (x-1)^2(x+1)=0, então
x=1 (mu<iplicidade 2)e x=-1 (mu<iplicidade 1)

Passo 3

Determinar onde f(x) é positiva ou negativa usando a tabela de sinais e a ideia de multiplicidade:
  • Raiz de multiplicidade ímpar (aqui x=-1) troca sinal ao cruzar.
  • Raiz de multiplicidade par (aqui x=1) não troca sinal, só “toca” o eixo.
Intervalos definidos pelos zeros -1 e 1:
  1. Para x<-1, escolhe x=-2:
f(-2)=(-2-1)^2(-2+1)=(-3)^2(-1)=9cdot(-1)=-9<0
  1. Entre -1 e 1, escolhe x=0:
f(0)=(0-1)^2(0+1)=1cdot1=1>0
  1. Para x>1, escolhe x=2:
f(2)=(2-1)^2(2+1)=1cdot3=3>0
Logo
f(x)<0em;(-infty,-1), f(x)>0em;(-1,1),cup,(1,infty),
e f(x)=0 em x=-1 ou x=1.

Passo 4

Esboço do gráfico:
  • Para xto -infty, f(x)to -infty (grau ímpar, coeficiente positivo).
  • Cruza o eixo em x=-1 (raiz simples).
  • Fica positiva até x=1.
  • Em x=1 toca o eixo e volta para cima (raiz dupla, tangente horizontal).
  • Para xto+infty, f(x)to+infty.
Então o gráfico desce da esquerda, cruza em -1, sobe, encosta no eixo em 1 e dispara para cima.

Resposta

Zeros: x=-1 (simples) e x=1 (dupla).
Fatoração: f(x)=(x-1)^2(x+1).
Sinal:
f(x)<0 em (-infty,-1).
f(x)>0 em (-1,1)cup(1,infty).
Gráfico: cruza o eixo em -1, toca e sobe em 1, vai para -infty à esquerda e +infty à direita.

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