(1,5 pontos) Para a função
a) Determine os zeros da função e fatore a expressão para a função. Dica: a função tem 3 zeros reais,
b) Determine os intervalos onde a função é positiva e onde é negativa.
c) Baseado nos resultados dos itens anteriores, faça um esboço do gráfico.
a) Determine os zeros da função e fatore a expressão para a função. Dica: a função tem 3 zeros reais,
b) Determine os intervalos onde a função é positiva e onde é negativa.
c) Baseado nos resultados dos itens anteriores, faça um esboço do gráfico.
Passo 1
Beleza, o enunciado manda a gente trabalhar com a função
Isso é conteúdo de álgebra/polinômios: a) achar os zeros (raízes) e fatorar, b) ver onde ela é positiva ou negativa usando uma tabela de sinais, c) desenhar um esboço do gráfico. Para isso vamos precisar de técnicas de fatoração (por agrupamento), conceito de multiplicidade de raiz e análise de sinal em intervalos.
Passo 2
Achar os zeros e fatorar por agrupamento:
- Escreve a função em dois pares:
- Em cada paralelo fatoramos o maior fator:
- Agora aparece
em comum, então
- E
é diferença de quadrados, logo
- No final a fatoração é
As raízes vêm de
, então
Passo 3
Determinar onde
é positiva ou negativa usando a tabela de sinais e a ideia de multiplicidade:
- Raiz de multiplicidade ímpar (aqui
) troca sinal ao cruzar. - Raiz de multiplicidade par (aqui
) não troca sinal, só “toca” o eixo.
Intervalos definidos pelos zeros
e
:
- Para
, escolhe :
- Entre
e , escolhe :
- Para
, escolhe :
Logo
e
em
ou
.
Passo 4
Esboço do gráfico:
- Para
, (grau ímpar, coeficiente positivo). - Cruza o eixo em
(raiz simples). - Fica positiva até
. - Em
toca o eixo e volta para cima (raiz dupla, tangente horizontal). - Para
, .
Então o gráfico desce da esquerda, cruza em
, sobe, encosta no eixo em
e dispara para cima.
Resposta
Zeros:
(simples) e
(dupla).
Fatoração: .
Sinal:
• em
.
• em
.
Gráfico: cruza o eixo em , toca e sobe em
, vai para
à esquerda e
à direita.
Fatoração:
Sinal:
•
•
Gráfico: cruza o eixo em