1. Sejam f, g: R longrightarrow R funções contínuas e A=x in R ; f(x) neq g(x). Mostre que, se a in A, então existe r>0 tal que, se x in(a-r, a+r), então x in A. Encontre um exemplo de funções f e g para as quais A=cupn in Z(2 n, 2 n+1).

Passo 1

Resumo do enunciado: temos duas funções contínuas
f,g: Rto R
e definimos
A=xin Rmid f(x)neq g(x)
O que a questão pede:
  1. Mostrar que, se ain A, existe um raio r>0 tal que todo xin(a-r,a+r) também está em A (ou seja, A é um conjunto aberto).
  2. Dar um exemplo de f e g para o qual
A=cupnin Z(2n,2n+1)
Matéria envolvida: continuidade de funções (definição varepsilon de<a) e conjuntos abertos em R.

Passo 2

Primeiro vamos provar que A é aberto.
  1. Definimos a função
h(x)=f(x)-g(x)
Como soma e diferença de funções contínuas são contínuas, h é contínua em todo R.
2) Pegamos um ponto ain A. Por definição de A, f(a)neq g(a), então
h(a)=f(a)-g(a)=dcom dneq0
  1. Agora usamos a definição de continuidade de h em a: dado varepsilon>0, existe de<a>0 tal que, se |x-a|<de<a, então
|h(x)-h(a)|<varepsilon
Vamos escolher varepsilon=|d|>0. Assim, existe de<a>0 com
|h(x)-d|<|d|sempre que |x-a|<de<a
  1. Pela desigualdade triangular temos
|h(x)|;>=;|,|h(a)|-|h(x)-h(a)|,|;=;|,|d|-|h(x)-d|,|;>;|d|-|d|;=;0
Logo h(x)neq0, ou seja, f(x)neq g(x) sempre que |x-a|<de<a.
5) Concluímos que todo xin(a-de<a,a+de<a) pertence a A, provando que a é ponto interior. Como a era genérico, A é aberto.

Passo 3

Agora um exemplo de f e g com
A=cupnin Z(2n,2n+1)
Basta escolher uma função contínua que seja positiva só nesses intervalos. Por exemplo, defina
f(x)=sin(pi x)+|sin(pi x)|2, g(x)=0
– Note que |sin(pi x)| e sin(pi x) são contínuos, logo f é contínua.
– Em cada x, f(x)>=0. Além disso
f(x)>0iff sin(pi x)>0iff xin(2n,2n+1) para algum nin Z
– Como g(x)=0, temos
f(x)neq g(x)iff f(x)>0iff xincupnin Z(2n,2n+1)
Logo com essa escolha A=xmid f(x)neq g(x)=cupnin Z(2n,2n+1),.

Resposta

Demonstramos que A=x:f(x)neq g(x) é aberto usando a definição varepsilon de<a de continuidade da função h(x)=f(x)-g(x), e apresentamos o exemplo
f(x)=sin(pi x)+|sin(pi x)|2, g(x)=0
para o qual
A=cupnin Z(2n,2n+1)

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