- Sejam
funções contínuas e
. Mostre que, se
, então existe
tal que, se
, então
. Encontre um exemplo de funções
e
para as quais
.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos duas funções contínuas
e definimos
O que a questão pede:
- Mostrar que, se
, existe um raio tal que todo também está em (ou seja, é um conjunto aberto). - Dar um exemplo de
e para o qual
Matéria envolvida: continuidade de funções (definição
–
) e conjuntos abertos em
.
Passo 2
Primeiro vamos provar que
é aberto.
- Definimos a função
Como soma e diferença de funções contínuas são contínuas,
é contínua em todo
.
2) Pegamos um ponto . Por definição de
,
, então
2) Pegamos um ponto
- Agora usamos a definição de continuidade de
em : dado , existe tal que, se , então
Vamos escolher
. Assim, existe
com
- Pela desigualdade triangular temos
Logo
, ou seja,
sempre que
.
5) Concluímos que todo pertence a
, provando que
é ponto interior. Como
era genérico,
é aberto.
5) Concluímos que todo
Passo 3
Agora um exemplo de
e
com
Basta escolher uma função contínua que seja positiva só nesses intervalos. Por exemplo, defina
– Note que
e
são contínuos, logo
é contínua.
– Em cada ,
. Além disso
– Em cada
– Como
, temos
Logo com essa escolha
.
Resposta
Demonstramos que
é aberto usando a definição
–
de continuidade da função
, e apresentamos o exemplo
para o qual