Os pontos de fusão de moléculas lineares C_{x} H_{2 x+2} podem ser descritos pela seguinte equação empírica:
T_{m}(K)=\frac{1000}{2,4+\frac{17}{x}}
a. Faça um gráfico de T_{m} em função de x usando esta equação e compare com os valores medidos de T_{m} mostrados na tabela abaixo.
b. Encontre o valor de T_{m} para um polietileno de alta massa molecular.
\mathbf{x} 8 10 12 14 16 24 32 70
\mathbf{T m}^{\circ} \mathbf{C} -56,8 -29,7 -9,7 2,5 14,7 47,6 67 104

Passo 1

O enunciado dá a equação empírica do ponto de fusão de alcanos lineares \mathrm{C}_{x}\mathrm{H}_{2x+2}:
T_{m}(K)=\frac{1000}{2,4+\frac{17}{x}}
Pede (a) o gráfico de T_{m} versus x e comparação com dados experimentais e (b) o valor de T_{m} para polietileno de massa molecular muito alta. Vamos precisar calcular valores teóricos de T_{m} para cada x da tabela, convertê-los em °C, traçar a curva e comparar.

Passo 2

Calculemos para cada x da tabela o valor teórico de T_{m} em kelvin e depois em °C (usando T_{m}(^{\circ}\mathrm{C})=T_{m}(K)-273{,}15):
\begin{array}{c|c|c} x & T_{m}(K) & T_{m}(^{\circ}\mathrm{C}) \\\ \hline 8 & \frac{1000}{2{,}4+\tfrac{17}{8}}=221{,}1 & -52{,}0\\\\ 10 & \frac{1000}{2{,}4+\tfrac{17}{10}}=244{,}0& -29{,}1\\\\ 12 & \frac{1000}{2{,}4+\tfrac{17}{12}}=262{,}1& -11{,}0\\\\ 14 & \frac{1000}{2{,}4+\tfrac{17}{14}}=276{,}6& 3{,}5\\\\ 16 & \frac{1000}{2{,}4+\tfrac{17}{16}}=288{,}7& 15{,}6\\\\ 24 & \frac{1000}{2{,}4+\tfrac{17}{24}}=321{,}6& 48{,}5\\\\ 32 & \frac{1000}{2{,}4+\tfrac{17}{32}}=341{,}2& 68{,}1\\\\ 70 & \frac{1000}{2{,}4+\tfrac{17}{70}}=378{,}2& 105{,}0 \end{array}

Passo 3

Para fazer o gráfico de T_{m} versus x, trace no eixo horizontal os valores de x (de 8 até, digamos, 100) e no vertical o T_{m}(K) calculado pela fórmula. A curva teórica cresce rapidamente para baixos x e tende assintoticamente a
\lim_{x\to\infty}T_{m}(K)=\frac{1000}{2{,}4}=416{,}7\;K.
Os pontos experimentais (convertidos a kelvin) ficam muito próximos dos valores teóricos calculados acima, com diferença típica de poucos kelvin, mostrando que o modelo captura bem a tendência de aumento do ponto de fusão com x.

Passo 4

Para polietileno de alta massa molecular temos x\to\infty. Substituindo na equação:
T_{m}(K)=\frac{1000}{2{,}4+\tfrac{17}{\infty}}=\frac{1000}{2{,}4}=416{,}7\;K.
Convertendo para °C,
T_{m}(^{\circ}\mathrm{C})=416{,}7-273{,}15=143{,}6\;^{\circ}\mathrm{C}.

Resposta

(a) A curva teórica T_{m}(K)=1000/(2,4+17/x) cresce rápido e se aproxima de 416,7 K; os pontos experimentais ajustam-se bem a essa curva.
(b) Para polietileno de alta massa molecular, T_{m}\approx416{,}7\;K ou aproximadamente 143{,}6\;^{\circ}\mathrm{C}.

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