( 2,5 pontos): Um gás ideal diatômico têm a pressão inicial \mathbf{P}_{1}=2,00 \mathrm{~atm}, volume inicial \mathbf{V}_{1}= 6,00 \mathrm{~L}, e temperatura T_{1}=600 \mathrm{~K}. O gás sofre uma compressão isobárica até seu volume ficar igual a \mathbf{2 , 0 0 L}. Depois o gás é aquecido a volume constante até sua pressão ficar igual a \mathbf{6 , 0 0} atm. E através de uma expansão isotérmica retorna ao estado inicial, completando o ciclo. a) (1,0) Faça um diagrama do ciclo no plano pV , com pressão em atm e o volume em litros. Indique a pressão, o volume e a temperatura em cada vértice.
b) (1,5) Calcule o rendimento de um motor funcionando segundo esse ciclo.
R=8,314 \mathrm{Jmol}^{-1} \mathrm{~K}^{-1} ; \gamma=\mathrm{c}_{p} / \mathrm{c}_{v} ; 1 \mathrm{~atm}=1,013 \times 10^{5} \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2} ; 1 \mathrm{~L}=10^{-3} \mathrm{~m}^{3};
[Água: \rho=10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; \mathrm{C}=1,0 \mathrm{calg}{ }^{-1} \mathrm{~K}^{-1} ; \mathrm{C}_{\text {gelo }}=0,5 \mathrm{calg}^{-1} \mathrm{~K}^{-1} ; \mathrm{L}_{\mathrm{f}}=80 \mathrm{cal} / \mathrm{g} ; \mathrm{L}_{\mathrm{v}}=540 \mathrm{cal} / \mathrm{g} ; ]
[ Gás _{\text {monoatom: }} \mathrm{c}_{v}=3 \mathrm{R} / 2 ; \mathrm{U}=3 \mathrm{nRT} / 2 ; \mathrm{Gás}_{\text {diatom: }} \mathrm{c}_{v}=5 \mathrm{R} / 2 ; \mathrm{U}=5 \mathrm{nRT} / 2á ];
Transf. Adiabática: p_{1} V_{1}^{\gamma}=p_{2} V_{2}^{\gamma} ; T_{1} V_{1}^{\gamma-1}=T_{2} V_{:}^{\gamma-1} ; W_{1 \rightarrow 2}=\frac{p_{2} V_{2}-p_{2} V_{1}}{1-\gamma};

Passo 1

O enunciado descreve um ciclo termodinâmico de um gás ideal diatômico c_{v}=5R/2 nos seguintes processos:
1\to 2: compressão isobárica de P_{1}=2{,}00 atm e V_{1}=6{,}00 L até V_{2}=2{,}00 L, partindo de T_{1}=600 K;
2\to 3: aquecimento isocórico em V=2{,}00 L até P_{3}=6{,}00 atm;
3\to 1: expansão isotérmica que devolve o sistema ao estado (P_{1},V_{1},T_{1}).
Conteúdos usados: equação de estado dos gases ideais, calor e trabalho em processos isobárico, isocórico e isotérmico, e rendimento \eta = W_{\rm líquido}/Q_{\rm in}í.

Passo 2

Calcular n, T_{2} e T_{3} usando a equação de estado
P_{1}V_{1}=nR\,T_{1}.
Convertendo unidades:
P_{1}=2{,}00\times1{,}013\times10^{5}\,\mathrm{Pa},\quad V_{1}=6{,}00\times10^{-3}\,\mathrm{m^{3}}.
Logo
n=\frac{P_{1}V_{1}}{R\,T_{1}} =\frac{(2\cdot1{,}013\times10^{5})(6{,}00\times10^{-3})}{8{,}314\cdot600} \approx0{,}244\;\mathrm{mol}.
Em 1\to 2 (isobárico) vale
\frac{T_{2}}{T_{1}}=\frac{V_{2}}{V_{1}} \quad\Longrightarrow\quad T_{2}=600\cdot\frac{2{,}00}{6{,}00}=200\;\mathrm{K}.
Em 2\to 3 (isocórico) vale
\frac{T_{3}}{T_{2}}=\frac{P_{3}}{P_{2}} \quad\Longrightarrow\quad T_{3}=200\cdot\frac{6{,}00}{2{,}00}=600\;\mathrm{K}.

Passo 3

Diagrama no plano pV (eixo vertical em atm, horizontal em L):
– Ponto 1 \bigl(P_{1}=2{,}00\\ \mathrm{atm},\\ V_{1}=6{,}00\\ \mathrm{L},\\ T_{1}=600\\ \mathrm{K}\bigr).
1\to 2: reta horizontal (compressão a 2 atm) até V_{2}=2{,}00 L, onde T_{2}=200 K.
– Ponto 2 \bigl(2{,}00\\ \mathrm{atm},\\\ 2{,}00\\ \mathrm{L},\\\ 200\\ \mathrm{K}\bigr).
2\to 3: reta vertical para P_{3}=6{,}00 atm em V=2{,}00 L, com T_{3}=600 K.
– Ponto 3 \bigl(6{,}00\\ \mathrm{atm},\\\ 2{,}00\\ \mathrm{L},\\\ 600\\ \mathrm{K}\bigr).
3\to 1: curva isotérmica a T=600 K de V=2 L até V=6 L retornando a P_{1}=2 atm.

Passo 4

Calcular as trocas de calor e o trabalho em cada etapa:
1\to 2 (isobárico):
C_{p}=C_{v}+R=\frac{5R}{2}+R=\frac{7R}{2}, \quad Q_{12}=nC_{p}(T_{2}-T_{1}) =0{,}244\cdot\frac{7\cdot8{,}314}{2}\,(200-600) \approx-2{,}84\times10^{3}\,\mathrm{J}.
2\to 3 (isocórico):
Q_{23}=nC_{v}(T_{3}-T_{2}) =0{,}244\cdot\frac{5\cdot8{,}314}{2}\,(600-200) \approx2{,}03\times10^{3}\,\mathrm{J}.
3\to 1 (isotérmico a T_{3}=600 K):
Q_{31}=W_{31} =nR\,T_{3}\ln\frac{V_{1}}{V_{2}} =0{,}244\cdot8{,}314\cdot600\;\ln3 \approx1{,}34\times10^{3}\,\mathrm{J}.
O trabalho líquido do ciclo é
W_{\rm liq}=Q_{12}+Q_{23}+Q_{31} \approx(-2{,}84+2{,}03+1{,}34)\times10^{3} =5,25\times10^{2}\,\mathrm{J}.
O calor recebido Q_{\rm in} ocorre em 2\to 3 e 3\to 1, totalizando
Q_{\rm in}=Q_{23}+Q_{31}\approx(2{,}03+1{,}34)\times10^{3} =3,37\times10^{3}\,\mathrm{J}.
Logo, o rendimento é
\eta=\frac{W_{\rm liq}}{Q_{\rm in}} \approx\frac{5,25\times10^{2}}{3,37\times10^{3}} \approx0{,}156\quad(15,6\%).

Resposta

O rendimento do ciclo é aproximadamente 15{,}6\%.

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