Vimos na mecânica newtoniana que a força resultante sempre aponta na direção da aceleração total de um corpo. Por que isso não é verdadeiro para a mecânica relativística?

Passo 1

O enunciado pergunta por que, em mecânica relativística, a força resultante \mathbf F_{\rm res} nem sempre aponta na direção da aceleração total \mathbf a, ao contrário do caso newtoniano, onde temos a relação simples \mathbf F = m\,\mathbf a. Para entender isso, vamos usar a definição de momento e força em relatividade especial e ver como a dependência de \gamma(v) altera a relação entre \mathbf F e \mathbf a.

Passo 2

Em relatividade especial, o momento linear de uma partícula de massa de repouso m e velocidade \mathbf v é
\mathbf p = \gamma(v)\,m\,\mathbf v,
onde
\gamma(v) = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}.
A força resultante define-se como
\mathbf F_{\rm res} = \frac{\dif \mathbf p}{\dif t}.

Passo 3

Para calcular \dif\mathbf p/\dif t, derivamos
\mathbf p = m\,\gamma\,\mathbf v
em relação a t:
\frac{\dif \mathbf p}{\dif t} = m\,\frac{\dif(\gamma\,\mathbf v)}{\dif t} = m\Bigl(\gamma\,\frac{\dif \mathbf v}{\dif t} \;+\;\mathbf v\,\frac{\dif \gamma}{\dif t}\Bigr).
Sabendo que
\frac{\dif \gamma}{\dif t} = \gamma^3\,\frac{\mathbf v\cdot \mathbf a}{c^2},
com \mathbf a = \dif \mathbf v/\dif t, inserimos esse termo na expressão.

Passo 4

É útil decompor a aceleração em parte paralela e parte perpendicular à velocidade:
\mathbf a = \mathbf a_\parallel + \mathbf a_\perp, \qquad \mathbf a_\parallel = \bigl(\mathbf a\cdot \hat{\mathbf v}\bigr)\,\hat{\mathbf v},
onde \hat{\mathbf v}=\mathbf v/v. Após algum trabalho algébrico chega-se a
\mathbf F_{\rm res} = m\bigl(\gamma^3\,\mathbf a_\parallel \;+\;\gamma\,\mathbf a_\perp\bigr).

Passo 5

Repare que as componentes paralela e perpendicular da aceleração entram com fatores diferentes \gamma^3 e \gamma. Logo, em geral
\mathbf F_{\rm res} \;\neq\; \text{constante}\times \mathbf a,
ou seja, o vetor força não se alinha com o vetor aceleração total, a menos que uma das componentes \mathbf a_\parallel ou \mathbf a_\perp seja nula.

Resposta

Em mecânica relativística, como \mathbf F_{\rm res} = \dif\mathbf p/\dif t e \mathbf p = m\gamma\mathbf v, aparecem fatores \gamma^3 e \gamma nas componentes paralela e perpendicular da aceleração, de modo que \mathbf F_{\rm res} não é, em geral, paralelo à aceleração total \mathbf a.

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