( 3,0 pontos): Um gás ideal diatômico têm a pressão inicial \mathbf{P}_{1}=10,0 atm, volume inicial \mathbf{V}_{1}= 1,00 \mathrm{~L}, e temperatura \mathbf{T}_{\mathbf{1}}=\mathbf{5 0 0 ~ K}. O gás sofre uma expansão adiabática até seu volume ficar igual a 3,00 \mathrm{~L}. Depois o gás é resfriado a pressão constante até seu volume ficar igual ao inicial. E através de um aquecimento a volume constante retorna ao estado inicial, completando o ciclo.
a) (1,0) Faça um diagrama do ciclo no plano pV , com pressão em atm e o volume em litros. Indique a pressão, o volume e a temperatura em cada vértice.
b) (1,0) Calcule a troca de calor em cada etapa.
b) (1,0) Calcule o rendimento de um motor funcionando segundo esse ciclo.

Passo 1

O enunciado descreve um ciclo de um gás ideal diatômico ( \gamma=7/5=1{,}4) que parte do estado 1 com
P_1=10{,}0\\ \text{atm},\quad V_1=1{,}00\\ \text{L},\quad T_1=500\\ \text{K}
faz expansão adiabática até o volume V_2=3{,}00\\ \text{L} (estado 2), depois é resfriado a pressão constante até retornar ao volume V_3=V_1 (estado 3), e finalmente é aquecido a volume constante de volta ao estado 1. Vamos usar
  1. a equação de estado \displaystyle P\,V=n\,R\,T,
  2. as relações do processo adiabático
    \displaystyle P_1V_1^\gamma=P_2V_2^\gamma e
    \displaystyle T_2=T_1\,(V_1/V_2)^{\gamma-1},
  3. os calores específicos C_p=\frac{\gamma R}{\gamma-1} e C_v=\frac{R}{\gamma-1}.

Passo 2

  1. Número de mols:
n = \frac{P_1\,V_1}{R\,T_1} = \frac{10{,}0\cdot1{,}00}{0{,}08206\cdot500} \approx0{,}2436\\ \text{mol}.
  1. Expansão adiabática 1\to2:
P_2 = P_1\Bigl(\frac{V_1}{V_2}\Bigr)^\gamma =10{,}0\Bigl(\tfrac{1}{3}\Bigr)^{1,4} \approx2{,}15\\ \text{atm},
T_2 = T_1\Bigl(\frac{V_1}{V_2}\Bigr)^{\gamma-1} =500\Bigl(\tfrac{1}{3}\Bigr)^{0,4} \approx322\\ \text{K}.
  1. Resfriamento isobárico 2\to3 com P_3=P_2 e V_3=V_1:
T_3 = T_2\,\frac{V_3}{V_2} =322\cdot\frac{1}{3} \approx107\\ \text{K}.
  1. Isochoric 3→1: retorna a T_1=500\\ \text{K} e P_1.
Resumo dos vértices:
– Estado 1: (V_1,P_1,T_1)=(1{,}00\\ \text{L},\,10{,}0\\ \text{atm},\,500\\ \text{K})
– Estado 2: (3{,}00\\ \text{L},\,2{,}15\\ \text{atm},\,322\\ \text{K})
– Estado 3: (1{,}00\\ \text{L},\,2{,}15\\ \text{atm},\,107\\ \text{K})
O diagrama pV é:
– curva adiabática de (1 L, 10 atm) a (3 L, 2,15 atm),
– linha horizontal isobárica de (3 L, 2,15 atm) a (1 L, 2,15 atm),
– linha vertical isocórica de (1 L, 2,15 atm) a (1 L, 10 atm).

Passo 3

Calcular as trocas de calor:
  1. Adiabático 1\to2:
Q_{12}=0.
  1. Isobárico 2\to3:
C_p=\frac{\gamma R}{\gamma-1}=3{,}5\,R\approx3{,}5\times8{,}314=29{,}10\\ \frac{\text{J}}{\text{mol·K}},
Q_{23}=n\,C_p\,(T_3-T_2) =0{,}2436\times29{,}10\times(107-322)\approx-1{,}52\times10^3\\ \text{J}.
  1. Isocórico 3\to1:
C_v=\frac{R}{\gamma-1}=2{,}5\,R\approx20{,}79\\ \frac{\text{J}}{\text{mol·K}},
Q_{31}=n\,C_v\,(T_1-T_3) =0{,}2436\times20{,}79\times(500-107)\approx1{,}99\times10^3\\ \text{J}.

Passo 4

Rendimento do ciclo:
W_{\text{líquido}}=Q_{12}+Q_{23}+Q_{31} =0 -1{,}52\times10^3 +1{,}99\times10^3 \approx4,64\times10^2\\ \text{J},í
\eta = \frac{W_{\text{líquido}}}{Q_{\text{in}}} = \frac{4,64\times10^2}{1,99\times10^3} \approx0,233 \quad(23{,}3\%).í

Resposta

a) Diagrama pV descrito acima, com vértices
(1{,}00\\ \text{L},\,10{,}0\\ \text{atm},\,500\\ \text{K}),
(3{,}00\\ \text{L},\,2{,}15\\ \text{atm},\,322\\ \text{K}) e
(1{,}00\\ \text{L},\,2{,}15\\ \text{atm},\,107\\ \text{K}).
b)
Q_{12}=0,\quad Q_{23}\approx -1{,}52\times10^3\\ \text{J},\quad Q_{31}\approx 1{,}99\times10^3\\ \text{J}.
c)
\eta\approx23{,}3\%.

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