( 2,0 pontos): Uma barra (1) metálica com 50 cm de comprimento se expande de 0,065 \mathrm{~cm} quando sua temperatura varia de 0^{\circ} \mathrm{C} até 100^{\circ} \mathrm{C}. Uma segunda barra (2), feita de outro metal, com \mathbf{5 0 ~ c m} de comprimento se expande de \mathbf{0 , 0 3 5 ~ c m} para a mesma variação de temperatura. Uma terceira barra, também com \mathbf{5 0 ~ c m} de comprimento, feita pela junção de dois pedaços das barras acima conectados pelas extremidades, expande-se de 0,055 \mathrm{~cm} para a mesma variação de temperatura.
a) (1,0) Qual o coeficiente de dilatação linear da barra 1 e da barra 2?
b) (1,0) Calcule o comprimento do pedaço da barra 1 e da barra 2 que formam a barra composta.

Passo 1

O enunciado trata de dilatação linear de barras metálicas: cada barra de comprimento inicial L=50\;\mathrm{cm} sofre uma variação de comprimento \Delta L quando a temperatura varia de 0^\circ\mathrm{C} até 100^\circ\mathrm{C}. O conteúdo aqui é coeficiente de dilatação linear, dado pela fórmula
\Delta L = \alpha\,L\,\Delta T.
Para a barra composta, usaremos a superposição das dilatações dos dois pedaços, pois cada pedaço dilata conforme seu próprio coeficiente.

Passo 2

Calcular o coeficiente de dilatação linear \alpha para cada barra:
\alpha = \frac{\Delta L}{L\,\Delta T}.
Para a barra 1 temos \Delta L_1=0{,}065\;\mathrm{cm}, para a barra 2 temos \Delta L_2=0{,}035\;\mathrm{cm}, sempre com L=50\;\mathrm{cm} e \Delta T=100\;\mathrm{K}.

Passo 3

Aplicando a fórmula em cada caso:
\alpha_1 = \frac{0{,}065}{50\cdot100} = 1{,}3\times10^{-5}\;{}^\circ\mathrm{C}^{-1},
\alpha_2 = \frac{0{,}035}{50\cdot100} = 7{,}0\times10^{-6}\;{}^\circ\mathrm{C}^{-1}.

Passo 4

Na barra composta de comprimento total 50\;\mathrm{cm}, seja x o comprimento do trecho feito com o metal 1 e 50 - x o trecho do metal 2. A dilatação total é
\Delta L_{\rm comp} = \alpha_1\,x\,\Delta T \;+\;\alpha_2\,(50 - x)\,\Delta T = 100\bigl(\alpha_1 x + \alpha_2(50-x)\bigr).
Sabemos que \Delta L_{\rm comp}=0{,}055\;\mathrm{cm}. Logo,
100\bigl(1{,}3\times10^{-5}\,x + 7{,}0\times10^{-6}(50 - x)\bigr)=0{,}055.

Passo 5

Resolver para x:
1{,}3\times10^{-3}\,x + 0{,}7\times10^{-3}(50 - x)=0{,}055,
(1{,}3 - 0{,}7)\times10^{-3}\,x = 0{,}055 - 0{,}7\times10^{-3}\cdot50 = 0{,}02,
0{,}6\times10^{-3}\,x = 0{,}02 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{0{,}02}{0{,}0006} \approx 33{,}33\;\mathrm{cm}.
O trecho de metal 2 mede 50 - x \approx 16{,}67\;\mathrm{cm}.

Resposta

(a) \alpha_1 = 1{,}3\times10^{-5}\;{}^\circ\mathrm{C}^{-1}, \alpha_2 = 7{,}0\times10^{-6}\;{}^\circ\mathrm{C}^{-1}.
(b) Comprimento do pedaço de barra 1: 33{,}33\;\mathrm{cm}; barra 2: 16{,}67\;\mathrm{cm}.

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