Determine os limites nos exercícios
quando
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Passo 1
O enunciado pede para determinar os limites unilaterais da função
quando
se aproxima de
e
pelas duas direções:
.\n
Informações dadas e úteis: a função é . Os pontos onde
são exatamente
e
, então o denominador tende a zero nessas aproximações — isso indica que os limites poderão ser infinitos (crescer sem limite) ou não existir finitamente. Não começarei a resolver aqui; só listei o que o enunciado pede e o que temos.
Informações dadas e úteis: a função é
Passo 2
Primeira ferramenta: fatorar o denominador para facilitar a análise de sinal.\n
Explicação didática: quando
está próximo de um dos pontos problemáticos (
ou
), um dos fatores fica muito pequeno (tende a zero) enquanto o outro costuma ficar perto de um número não nulo. O sinal do produto
é o produto dos sinais dos fatores; se o produto é um número muito pequeno positivo,
é um número muito grande e positivo (tende a
); se for pequeno negativo, o recíproco tende a
. Vou analisar cada caso separadamente, mostrando também exemplos numéricos próximos para intuição.
Passo 3
Análise para
(chegando em
pela direita, valores maiores que
, tipo
):\n
- Para esses
, o fator é positivo e pequeno porque e tende a .\n - O outro fator
vale aproximadamente (para perto de temos ), logo é positivo e não pequeno.\n
Portanto o produtoé positivo e pequeno, ou seja o denominador tende a . Então
Exemplo numérico para visualizar: se
então
,
e
; se
então
e
— cresce para
.
Passo 4
Análise para
(chegando em
pela esquerda, valores menores que
, tipo
):\n
- Aqui
é negativo pequeno porque e tende a .\n -
continua positivo (aproximadamente ).\n
Logo o produtoé negativo e de pequena magnitude, ou seja o denominador tende a . Portanto
Exemplo numérico:
e
; para
obtemos
— vai para
.
Passo 5
Análise para
(chegando em
pela direita, valores maiores que
, tipo
):\n
- Agora o fator
é positivo e pequeno porque e tende a .\n - O fator
é negativo e aproximadamente (quando está perto de , ).\n
O produtoé, portanto, negativo e de pequena magnitude; o denominador tende a . Assim
Exemplo numérico:
e
; aproximando mais, o valor vai para
.
Passo 6
Análise para
(chegando em
pela esquerda, valores menores que
, tipo
):\n
- Aqui
é negativo pequeno ( e tende a ).\n -
é negativo e aproximadamente .\n
O produto de dois negativos é positivo, e como um dos fatores é muito pequeno, o produto é pequeno e positivo — o denominador tende a. Logo
Exemplo:
e
, aumentando para
conforme
se aproxima mais de
por valores menores.