Determine os limites nos exercícios
\quad \lim \frac{1}{x^{2}-4} quando
x \rightarrow 2^{+}
x \rightarrow 2^{-}
x \rightarrow-2^{+}
x \rightarrow-2^{-}

Passo 1

O enunciado pede para determinar os limites unilaterais da função \displaystyle \frac{1}{x^{2}-4} quando x se aproxima de \;2 e -2 pelas duas direções: \;x\rightarrow2^{+},\;x\rightarrow2^{-},\;x\rightarrow-2^{+},\;x\rightarrow-2^{-}.\n
Informações dadas e úteis: a função é \displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}-4}. Os pontos onde x^{2}-4=0 são exatamente x=2 e x=-2, então o denominador tende a zero nessas aproximações — isso indica que os limites poderão ser infinitos (crescer sem limite) ou não existir finitamente. Não começarei a resolver aqui; só listei o que o enunciado pede e o que temos.

Passo 2

Primeira ferramenta: fatorar o denominador para facilitar a análise de sinal.\n
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
Explicação didática: quando x está próximo de um dos pontos problemáticos ( 2 ou -2), um dos fatores fica muito pequeno (tende a zero) enquanto o outro costuma ficar perto de um número não nulo. O sinal do produto (x-2)(x+2) é o produto dos sinais dos fatores; se o produto é um número muito pequeno positivo, \frac{1}{\text{pequeno positivo}} é um número muito grande e positivo (tende a +\infty); se for pequeno negativo, o recíproco tende a -\infty. Vou analisar cada caso separadamente, mostrando também exemplos numéricos próximos para intuição.

Passo 3

Análise para \;x\rightarrow2^{+} (chegando em 2 pela direita, valores maiores que 2, tipo x=2{,}1, 2{,}01,\dots):\n
  • Para esses x, o fator (x-2) é positivo e pequeno porque x-2>0 e tende a 0^{+}.\n
  • O outro fator (x+2) vale aproximadamente 4 (para x perto de 2 temos x+2\approx4), logo é positivo e não pequeno.\n
    Portanto o produto (x-2)(x+2) é positivo e pequeno, ou seja o denominador tende a 0^{+}. Então
\frac{1}{x^{2}-4}=\frac{1}{(x-2)(x+2)}\longrightarrow +\infty\quad\text{quando}\quad x\rightarrow2^{+}.
Exemplo numérico para visualizar: se x=2{,}1 então x^{2}=4{,}41, x^{2}-4=0{,}41 e \frac{1}{0{,}41}\approx2{,}44; se x=2{,}01 então x^{2}-4\approx0{,}0401 e \frac{1}{0{,}0401}\approx24{,}94 — cresce para +\infty.

Passo 4

Análise para \;x\rightarrow2^{-} (chegando em 2 pela esquerda, valores menores que 2, tipo x=1{,}9,1{,}99,\dots):\n
  • Aqui (x-2) é negativo pequeno porque x-2<0 e tende a 0^{-}.\n
  • (x+2) continua positivo (aproximadamente 4).\n
    Logo o produto (x-2)(x+2) é negativo e de pequena magnitude, ou seja o denominador tende a 0^{-}. Portanto
\frac{1}{x^{2}-4}=\frac{1}{(x-2)(x+2)}\longrightarrow -\infty\quad\text{quando}\quad x\rightarrow2^{-}.
Exemplo numérico: x=1{,}9\Rightarrow x^{2}-4=3{,}61-4=-0{,}39 e \frac{1}{-0{,}39}\approx-2{,}56; para x=1{,}99 obtemos \frac{1}{x^{2}-4}\approx-25{,}06 — vai para -\infty.

Passo 5

Análise para \;x\rightarrow-2^{+} (chegando em -2 pela direita, valores maiores que -2, tipo x=-1{,}9,-1{,}99,\dots):\n
  • Agora o fator (x+2) é positivo e pequeno porque x+2>0 e tende a 0^{+}.\n
  • O fator (x-2) é negativo e aproximadamente -4 (quando x está perto de -2, x-2\approx-4).\n
    O produto (x-2)(x+2) é, portanto, negativo e de pequena magnitude; o denominador tende a 0^{-}. Assim
\frac{1}{x^{2}-4}=\frac{1}{(x-2)(x+2)}\longrightarrow -\infty\quad\text{quando}\quad x\rightarrow-2^{+}.
Exemplo numérico: x=-1{,}9\Rightarrow x^{2}-4=3{,}61-4=-0{,}39 e \frac{1}{-0{,}39}\approx-2{,}56; aproximando mais, o valor vai para -\infty.

Passo 6

Análise para \;x\rightarrow-2^{-} (chegando em -2 pela esquerda, valores menores que -2, tipo x=-2{,}1,-2{,}01,\dots):\n
  • Aqui (x+2) é negativo pequeno ( x+2<0 e tende a 0^{-}).\n
  • (x-2) é negativo e aproximadamente -4.\n
    O produto de dois negativos é positivo, e como um dos fatores é muito pequeno, o produto é pequeno e positivo — o denominador tende a 0^{+}. Logo
\frac{1}{x^{2}-4}=\frac{1}{(x-2)(x+2)}\longrightarrow +\infty\quad\text{quando}\quad x\rightarrow-2^{-}.
Exemplo: x=-2{,}1\Rightarrow x^{2}-4=4{,}41-4=0{,}41 e \frac{1}{0{,}41}\approx2{,}44, aumentando para +\infty conforme x se aproxima mais de -2 por valores menores.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to2^{+}}\frac{1}{x^{2}-4}=+\infty\n
\displaystyle \lim_{x\to2^{-}}\frac{1}{x^{2}-4}=-\infty\n
\displaystyle \lim_{x\to-2^{+}}\frac{1}{x^{2}-4}=-\infty\n
\displaystyle \lim_{x\to-2^{-}}\frac{1}{x^{2}-4}=+\infty

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