1. ( 4,0 pontos) João e José trabalham em uma empresa especializada em móveis planejados. João tem três vezes mais clientes do que José. Dos clientes de João, 20 % solicitaram um projeto para o home office. Dos clientes de José, 40 % solicitaram um projeto para o home office. Encontrou-se um projeto na sala de reuniões assinado com a inicial J. Sem saber nenhuma informação sobre esse projeto, responda:
    a) Qual é a probabilidade de que o projeto encontrado pertença a José?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está falando. Temos dois vendedores na empresa: João e José. João tem três vezes mais clientes que o José. Além disso, 20% dos clientes de João pedem um projeto para home office, enquanto 40% dos clientes de José fazem o mesmo. A pergunta é: se encontramos um projeto na sala de reuniões assinado com a letra J, qual é a probabilidade de que esse projeto seja do José?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de probabilidade condicional e teoria de probabilidade básica. Vamos dividir a resolução em passos para ficar mais fácil de entender.

Passo 2

Primeiro, vamos definir algumas variáveis para facilitar o entendimento:
  • Seja C_João o número de clientes que João tem.
  • Então, C_José = C_João / 3 (já que João tem três vezes mais clientes que José).
Como os valores exatos de clientes não são fornecidos, vamos assumir um número para facilitar os cálculos. Vamos supor que o José tem 1 cliente. Assim, o João terá 3 clientes.

Passo 3

Agora, vamos calcular quantos clientes de cada um pediram projeto para home office:
  • Clientes de João que pediram projeto para home office = 20% de 3 = 0,6 clientes.
  • Clientes de José que pediram projeto para home office = 40% de 1 = 0,4 clientes.
Esses valores representam a probabilidade de um projeto ser de home office para cada vendedor.

Passo 4

Como encontramos um projeto assinado com a inicial J, precisamos considerar que pode ser tanto do João quanto do José. Vamos calcular a probabilidade total de encontrar um projeto assinado com J.
A probabilidade total é a soma das probabilidades de cada caso:
  • Probabilidade de ser do João = Número de projetos de João / Total de projetos = 3 / (3 + 1) = 3/4.
  • Probabilidade de ser do José = Número de projetos de José / Total de projetos = 1 / (3 + 1) = 1/4.

Passo 5

Finalmente, queremos saber a probabilidade de que o projeto encontrado pertença ao José. Isso é uma probabilidade condicional: dado que o projeto é assinado com J, qual a chance de ser do José?
Usamos a fórmula da probabilidade condicional:
P(José | J) = P(J | José) times P(José)P(J) ééé
Onde:
  • $ P(J | José) $ é a probabilidade de um projeto de José ser assinado com J, que é 1 (já que ambos os nomes começam com J).
  • $ P(José) $ é a probabilidade de um projeto ser do José, que calculamos como 1/4.
  • $ P(J) $ é a probabilidade total de um projeto ser assinado com J, que é 3/4 + 1/4 = 1.
Então:
P(J | José) é

Resposta

A probabilidade de que o projeto encontrado pertença ao José é 25%.

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