- ( 2,0 pontos) Em uma linha de montagem, o tempo necessário para completar uma determinada etapa do processo de produção foi medido em minutos para 9 peças. As observações dos tempos de produção são as seguintes:
b) Calcule a variância dos tempos de produção registrados.
b) Calcule a variância dos tempos de produção registrados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa calcular a variância dos tempos de produção registrados para uma linha de montagem. A matéria aqui envolve estatística, mais especificamente medidas de dispersão dos dados. Para calcular a variância, vamos precisar dos tempos de produção das 9 peças e entender como medir o quanto esses tempos variam em relação à média.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é variância. A variância nos mostra, em média, o quanto cada valor do conjunto de dados se afasta da média. É uma medida que indica a dispersão dos dados.
A fórmula da variância ($ \sigma^2 $) para uma amostra é:
Onde:
- $ x_i $ são os valores individuais,
- $ \overline{x} $ é a média dos valores,
- $ n $ é o número total de observações.
Passo 3
Vamos começar calculando a média dos tempos de produção. Somamos todos os tempos e dividimos pelo número de peças.
Tempos de produção:
12,4; 10,8; 13,2; 11,7; 12,0; 14,1; 13,7; 12,9; 11,7
12,4; 10,8; 13,2; 11,7; 12,0; 14,1; 13,7; 12,9; 11,7
Vamos somar esses valores:
Agora, dividimos pela quantidade de peças (9):
Passo 4
Agora que temos a média ($ \overline{x} = 12,5 $ minutos), vamos calcular a diferença de cada tempo em relação à média e depois elevar ao quadrado essa diferença.
Vamos calcular $ (x_i - \overline{x})^2 $ para cada valor:
- $ (12,4 - 12,5)^2 = (-0,1)^2 = 0,01 $
- $ (10,8 - 12,5)^2 = (-1,7)^2 = 2,89 $
- $ (13,2 - 12,5)^2 = (0,7)^2 = 0,49 $
- $ (11,7 - 12,5)^2 = (-0,8)^2 = 0,64 $
- $ (12,0 - 12,5)^2 = (-0,5)^2 = 0,25 $
- $ (14,1 - 12,5)^2 = (1,6)^2 = 2,56 $
- $ (13,7 - 12,5)^2 = (1,2)^2 = 1,44 $
- $ (12,9 - 12,5)^2 = (0,4)^2 = 0,16 $
- $ (11,7 - 12,5)^2 = (-0,8)^2 = 0,64 $
Passo 5
Agora, somamos todas essas diferenças ao quadrado:
Passo 6
Por último, aplicamos a fórmula da variância dividindo essa soma pelo número de observações menos um (n - 1), que neste caso é 9 - 1 = 8.
Resposta
A variância dos tempos de produção registrados é 1,06 minutos².