1. ( 2,0 pontos) Em uma linha de montagem, o tempo necessário para completar uma determinada etapa do processo de produção foi medido em minutos para 9 peças. As observações dos tempos de produção são as seguintes: llllllll12,4 & 10,8 & 13,2 & 11,7 & 12,0 & 14,1 & 13,7 & 12,9 11,7
    b) Calcule a variância dos tempos de produção registrados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa calcular a variância dos tempos de produção registrados para uma linha de montagem. A matéria aqui envolve estatística, mais especificamente medidas de dispersão dos dados. Para calcular a variância, vamos precisar dos tempos de produção das 9 peças e entender como medir o quanto esses tempos variam em relação à média.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é variância. A variância nos mostra, em média, o quanto cada valor do conjunto de dados se afasta da média. É uma medida que indica a dispersão dos dados.
A fórmula da variância ($ \sigma^2 $) para uma amostra é:
sigma^2
Onde:
  • $ x_i $ são os valores individuais,
  • $ \overline{x} $ é a média dos valores,
  • $ n $ é o número total de observações.

Passo 3

Vamos começar calculando a média dos tempos de produção. Somamos todos os tempos e dividimos pelo número de peças.
Tempos de produção:
12,4; 10,8; 13,2; 11,7; 12,0; 14,1; 13,7; 12,9; 11,7
x = 12,4 + 10,8 + 13,2 + 11,7 + 12,0 + 14,1 + 13,7 + 12,9 + 11,79
Vamos somar esses valores:
12,4 + 10,8 = 23,2
23,2 + 13,2 = 36,4
36,4 + 11,7 = 48,1
48,1 + 12,0 = 60,1
60,1 + 14,1 = 74,2
74,2 + 13,7 = 87,9
87,9 + 12,9 = 100,8
100,8 + 11,7 = 112,5
Agora, dividimos pela quantidade de peças (9):
x = 112,59 = 12,5 minutos

Passo 4

Agora que temos a média ($ \overline{x} = 12,5 $ minutos), vamos calcular a diferença de cada tempo em relação à média e depois elevar ao quadrado essa diferença.
Vamos calcular $ (x_i - \overline{x})^2 $ para cada valor:
  1. $ (12,4 - 12,5)^2 = (-0,1)^2 = 0,01 $
  2. $ (10,8 - 12,5)^2 = (-1,7)^2 = 2,89 $
  3. $ (13,2 - 12,5)^2 = (0,7)^2 = 0,49 $
  4. $ (11,7 - 12,5)^2 = (-0,8)^2 = 0,64 $
  5. $ (12,0 - 12,5)^2 = (-0,5)^2 = 0,25 $
  6. $ (14,1 - 12,5)^2 = (1,6)^2 = 2,56 $
  7. $ (13,7 - 12,5)^2 = (1,2)^2 = 1,44 $
  8. $ (12,9 - 12,5)^2 = (0,4)^2 = 0,16 $
  9. $ (11,7 - 12,5)^2 = (-0,8)^2 = 0,64 $

Passo 5

Agora, somamos todas essas diferenças ao quadrado:
0,01 + 2,89 + 0,49 + 0,64 + 0,25 + 2,56 + 1,44 + 0,16 + 0,64 = 8,48

Passo 6

Por último, aplicamos a fórmula da variância dividindo essa soma pelo número de observações menos um (n - 1), que neste caso é 9 - 1 = 8.
sigma^2 = 8,488 = 1,06

Resposta

A variância dos tempos de produção registrados é 1,06 minutos².

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