(6 pontos) Em uma lavoura, a população de uma praga cresce proporcionalmente à quantidade atual de indivíduos. Sabe-se que no início do monitoramento havia 50 insetos, e após 4 dias, esse número chegou a 200. Determine:
a) A constante de crescimento.
b) A função p(t) e a população estimada em 6 dias.

Passo 1

O enunciado descreve um crescimento exponencial da praga, ou seja, a população p(t) satisfaz
p(t)=p0,e^k,t,
onde p0 é a população inicial e k é a constante de crescimento. Aqui temos p0=50 insetos e, após 4 dias, p(4)=200.

Passo 2

Para achar k, usamos
p(4)=50,e^4k=200
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e^4k=20050=4
e daí
4k=ln(4)Longrightarrow k=ln(4)4=2ln(2)4=ln(2)2

Passo 3

Agora que sabemos k, escrevemos a função completa
p(t)=50,e^ln(4)4,t
Para estimar em 6 dias, calculamos
p(6)=50,e^ln(4)4times6 =50,e^64ln(4) =50cdot4^64 =50cdot4^1,5 =50cdot8 =400

Resposta

(a) k=ln(4)4=ln(2)2 (aprox.\ 0,3466 por dia).
(b) p(t)=50,e^ln(4)4t e p(6)=400 insetos.

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