1. ( 2,0 pontos) Uma linha de transmissão com 2 metros de comprimento e operada na frequência \omega=1.10^{8} \mathrm{rad} / \mathrm{s} é caracterizada pelos seguintes parâmetros: \alpha=8 \mathrm{~dB} / \mathrm{m}, \beta= 1 \mathrm{rad} / \mathrm{m}, e Z_{0}=30+\mathrm{j} 60 \Omega. Se a linha é conectada a um gerador com tensão de 10 / 0^{\circ} V, Z_{\mathrm{g}}=50 \Omega, e está terminada em uma carga Z_{\mathrm{L}}=20+\mathrm{j} 50 \Omega, determine:
c) a corrente na metade da linha.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (peguei todos os números do enunciado).
  • Comprimento da linha: L=2\\ \mathrm{m}.
  • Frequência angular: \omega=1\cdot10^{8}\\ \mathrm{rad/s} (não será usada diretamente nesta parte).
  • Constantes de propagação: \alpha=8\\ \mathrm{dB/m} e \beta=1\\ \mathrm{rad/m}.
  • Impedância característica da linha: Z_{0}=30+\mathrm{j}\,60\\ \Omega.
  • Gerador: tensão V_{\mathrm{g}}=10\angle 0^\circ\\ \mathrm{V} e resistência interna Z_{\mathrm{g}}=50\\ \Omega.
  • Carga na extremidade: Z_{\mathrm{L}}=20+\mathrm{j}\,50\\ \Omega.
O enunciado pede especificamente, na alínea (c): determinar a corrente na metade da linha.
Observação sobre coordenada (escolha padrão que vou usar): tomo z medido a partir da carga em direção ao gerador (ou seja, z=0 na carga e z=L na entrada da linha junto ao gerador). Assim a metade da linha corresponde a z=L/2=1\\ \mathrm{m} medidos a partir da carga.

Passo 2

Primeiro é preciso passar \alpha de decibéis por metro para nepers por metro, porque nas fórmulas de transmissão usamos \gamma=\alpha_{\text{(Np/m)}}+\mathrm{j}\beta.
A relação é \;1\\ \mathrm{Np}=8{,}686\\ \mathrm{dB}. Portanto
\alpha_{\text{(Np/m)}}=\frac{\alpha_{\text{(dB/m)}}}{8{,}686}=\frac{8}{8{,}686}\approx 0{,}9219\\ \mathrm{Np/m}.

Passo 3

Formamos a constante de propagação complexa
\gamma=\alpha+\mathrm{j}\beta=(0{,}9219+\mathrm{j}\,1)\\ \mathrm{rad/m}.
Para a extensão total L=2\\ \mathrm{m} vamos precisar de \gamma L:
\gamma L=(0{,}9219+\mathrm{j}\,1)\cdot 2=1{,}8438+\mathrm{j}\,2.

Passo 4

Calculo do coeficiente de reflexão na carga:
\Gamma_{\mathrm{L}}=\frac{Z_{\mathrm{L}}-Z_{0}}{Z_{\mathrm{L}}+Z_{0}}.
Substituindo:
Z_{\mathrm{L}}-Z_{0}=(20+\mathrm{j}50)-(30+\mathrm{j}60)=-10-\mathrm{j}10,
Z_{\mathrm{L}}+Z_{0}=(20+\mathrm{j}50)+(30+\mathrm{j}60)=50+\mathrm{j}110.
Fazendo a divisão complexa:
\Gamma_{\mathrm{L}}=\frac{-10-\mathrm{j}10}{50+\mathrm{j}110}\approx -0{,}109589+\mathrm{j}\,0{,}041096.
Módulo e fase (verificação):
|\Gamma_{\mathrm{L}}|\approx 0{,}1170,\qquad \angle\Gamma_{\mathrm{L}}\approx 159{,}4^\circ.

Passo 5

Para obter a impedância de entrada vista pelo gerador precisamos de \operatorname{tanh}(\gamma L). Para número complexo u+ \mathrm{j}v vale
\operatorname{tanh}(u+\mathrm{j}v)=\frac{\operatorname{sinh}(2u)+\mathrm{j}\sin(2v)}{\operatorname{cosh}(2u)+\cos(2v)}.
Aqui u=1{,}8438 e v=2. Calculei:
\operatorname{tanh}(\gamma L)\approx 1{,}0329-\mathrm{j}\,0{,}03912.
(Detalhe: calculei \operatorname{sinh}(2u), \operatorname{cosh}(2u), \sin(2v), \cos(2v) e apliquei a fórmula acima.)

Passo 6

Agora a impedância de entrada da linha (em z=L, ou seja, na entrada junto ao gerador) para linha com perdas é
Z_{\mathrm{in}}=Z_{0}\,\frac{Z_{\mathrm{L}}+Z_{0}\operatorname{tanh}(\gamma L)}{Z_{0}+Z_{\mathrm{L}}\operatorname{tanh}(\gamma L)}.
Calculei as partes:
Z_{0}\operatorname{tanh}(\gamma L)\approx 33{,}3342+\mathrm{j}\,60{,}8004,
Z_{\mathrm{L}}+Z_{0}\operatorname{tanh}(\gamma L)\approx 53{,}3342+\mathrm{j}\,110{,}8004,
Z_{\mathrm{L}}\operatorname{tanh}(\gamma L)\approx 22{,}614+\mathrm{j}\,50{,}8626,
Z_{0}+Z_{\mathrm{L}}\operatorname{tanh}(\gamma L)\approx 52{,}614+\mathrm{j}\,110{,}8626.
Fazendo a divisão complexa e multiplicando por Z_{0} obtive
Z_{\mathrm{in}}\approx 30{,}3912+\mathrm{j}\,59{,}9559\\ \Omega.
(Nota: como a linha é relativamente atenuante, Z_{\mathrm{in}} ficou muito próximo de Z_{0}.)

Passo 7

Tensão na entrada da linha (tensão no nó entre Z_{\mathrm{g}} e Z_{\mathrm{in}}):
V(L)=V_{\mathrm{g}}\frac{Z_{\mathrm{in}}}{Z_{\mathrm{g}}+Z_{\mathrm{in}}}.
Com V_{\mathrm{g}}=10\angle 0^\circ\\ \mathrm{V} e os valores calculados:
V(L)\approx 6{,}008+\mathrm{j}\,2{,}994\\ \mathrm{V},
ou em forma polar
V(L)\approx 6{,}715\angle 26{,}5^\circ\\ \mathrm{V}.

Passo 8

Agora determinamos a onda progressiva V^{+}. Usamos a relação válida em qualquer z medida a partir da carga:
V(z)=V^{+}e^{-\gamma z}+V^{-}e^{\gamma z},\qquad V^{-}=\Gamma_{\mathrm{L}}V^{+}.
Em z=L (entrada) temos
V(L)=V^{+}e^{-\gamma L}+\Gamma_{\mathrm{L}}V^{+}e^{\gamma L}=V^{+}\bigl(e^{-\gamma L}+\Gamma_{\mathrm{L}}e^{\gamma L}\bigr).
Logo
V^{+}=\frac{V(L)}{e^{-\gamma L}+\Gamma_{\mathrm{L}}e^{\gamma L}}.
Calculei e^{\pm\gamma L}:
e^{\gamma L}\approx -2{,}630+\mathrm{j}\,5{,}745,\qquad e^{-\gamma L}\approx -0{,}0658-\mathrm{j}\,0{,}1438.
Então
e^{-\gamma L}+\Gamma_{\mathrm{L}}e^{\gamma L}\approx -0{,}0142-\mathrm{j}\,0{,}8814,
e portanto
V^{+}\approx -3{,}506+\mathrm{j}\,6{,}759\\ \mathrm{V}\approx 7{,}615\angle 117{,}6^\circ\\ \mathrm{V}.

Passo 9

A onda refletida é
V^{-}=\Gamma_{\mathrm{L}}V^{+}\approx 0{,}1062-\mathrm{j}\,0{,}8851\\ \mathrm{V}\approx 0{,}8925\angle -83{,}1^\circ\\ \mathrm{V}.

Passo 10

Agora calculamos os expoentes em z=L/2=1\\ \mathrm{m}:
e^{-\gamma z}=e^{-(0{,}9219+\mathrm{j}1)\cdot 1}\approx 0{,}2146-\mathrm{j}\,0{,}3344,
e^{\gamma z}=e^{(0{,}9219+\mathrm{j}1)\cdot 1}\approx 1{,}358+\mathrm{j}\,2{,}116.
Multiplico para obter as contribuições das ondas:
V^{+}e^{-\gamma z}\approx 1{,}5064+\mathrm{j}\,2{,}6235\\ \mathrm{V},
V^{-}e^{\gamma z}\approx 2{,}0173-\mathrm{j}\,0{,}9773\\ \mathrm{V}.

Passo 11

A corrente ao longo da linha (referida à mesma orientação de z) é
I(z)=\frac{1}{Z_{0}}\bigl(V^{+}e^{-\gamma z}-V^{-}e^{\gamma z}\bigr).
No ponto z=L/2 substituindo os valores calculados:
V^{+}e^{-\gamma z}-V^{-}e^{\gamma z}\approx -0{,}5109+\mathrm{j}\,3{,}6008\\ \mathrm{V}.
Dividindo por Z_{0}=30+\mathrm{j}60\\ \Omega (fazendo a divisão complexa) obtive
I\bigl(z=L/2\bigr)\approx 0{,}044605+\mathrm{j}\,0{,}030817\\ \mathrm{A}.
Em forma polar:
I\bigl(z=L/2\bigr)\approx 0{,}0542\angle 34{,}5^\circ\\ \mathrm{A}.

Resposta

I\bigl(z=L/2\bigr)=0{,}0542\angle 34{,}5^\circ\\ \mathrm{A}

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