( 3,0 pontos) Um lustre de massa m=5 \mathrm{~kg} está suspenso no teto de um salāo por dois fios leves e inextensíveis, presos ao teto em pontos distintos. O fio 1 faz um ângulo de \theta_{1}=30^{\circ} com a horizontal, e o fio 2 faz um ângulo de 0_{2}=60^{\circ}, ambos no mesmo plano vertical. Considere a aceleração da gravidade como g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
a) (1,0) Desenhe o diagrama de corpo livre do lustre, representando todas as forças que atuam sobre ele \mathbf{e} os ângulos \theta_{1} e \theta_{2};
b) (1,0) encontre a tensão no fio 1 ;
c) (1,0) encontre a tensão no fio 2 .

Passo 1

O enunciado trata de um corpo (lustre de massa m=5,kg) em equilíbrio estático, suspenso por dois fios formando ângulos com a horizontal \theta_{1}=30^\circ e \theta_{2}=60^\circ. Para resolver, vamos desenhar o diagrama de corpo livre e usar as condições de equilíbrio (∑ F_x=0 e ∑ F_y=0), decompondo as tensões nas direções horizontal e vertical.

Passo 2

Diagrama de corpo livre do lustre (ponto material):
\vec T_1: tensão no fio 1, saindo do lustre, inclinada para a esquerda num ângulo \theta_{1}=30^\circ em relação à horizontal.
\vec T_2: tensão no fio 2, saindo do lustre, inclinada para a direita num ângulo \theta_{2}=60^\circ em relação à horizontal.
\vec P: peso do lustre, vertical para baixo, módulo \;P = m\,g.

Passo 3

Escrevendo as equações de equilíbrio:
Horizontalmente, como não há aceleração,
\sum F_x: \quad T_2\cos\theta_{2} - T_1\cos\theta_{1} = 0
Verticalmente, a soma das componentes verticais deve equilibrar o peso,
\sum F_y: \quad T_1\sin\theta_{1} + T_2\sin\theta_{2} - m\,g = 0.

Passo 4

Da equação horizontal, isolamos T_2:
T_2\cos(60^\circ) = T_1\cos(30^\circ) \quad\Longrightarrow\quad T_2 \,\bigl(\tfrac12\bigr) = T_1 \,\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad T_2 = T_1\,\sqrt3.

Passo 5

Substituímos T_2 = T_1\,\sqrt3 na equação vertical:
T_1\sin(30^\circ) + (T_1\sqrt3)\sin(60^\circ) = m\,g.
Como \sin(30^\circ)=\tfrac12 e \sin(60^\circ)=\tfrac{\sqrt3}{2},
T_1\Bigl(\tfrac12\Bigr) + T_1\sqrt3\Bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr) = T_1\Bigl(\tfrac12 + \tfrac{3}{2}\Bigr) = T_1\cdot2 = m\,g.
Logo
T_1 = \frac{m\,g}{2} = \frac{5\cdot10}{2} = 25\\ \text{N}.

Passo 6

Com T_1=25,N e T_2=T_1\sqrt3, obtemos
T_2 = 25\,\sqrt3\approx 43{,}3\\ \text{N}.

Resposta

a) Veja o diagrama descrito no Passo 2.
b) T_1 = 25\\ \text{N}.
c) T_2 = 25\sqrt3 \approx 43{,}3\\ \text{N}.

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