(6 pontos) Se a massa de um planeta é dobrada sem o aumento de seu raio, a velocidade de escape para aquele planeta será:
a) inalterada;
b) aumentada de um fator igual a 2;
c) aumentada de um fator igual a 1,4
d) reduzida de um fator igual a 1,4 ;
e) reduzida de um fator igual a 2.

Passo 1

O enunciado dá a informação: a massa de um planeta é duplicada (ou seja, passa de M para 2M) sem alteração do seu raio (o raio continua sendo R). A pergunta é: como muda a velocidade de escape desse planeta? São dadas cinco alternativas (a–e) e uma delas está correta.
Informações relevantes:
  • Massa inicial: M.
  • Massa final: M' = 2M.
  • Raio: R (mantido constante).
  • Precisamos comparar a nova velocidade de escape v' com a velocidade de escape original v.

Passo 2

O que é velocidade de escape e como obtê-la (passo-a-passo didático).
Definição física: velocidade de escape é a velocidade mínima que um objeto deve ter, na superfície do planeta, para escapar da atração gravitacional do planeta, isto é, para chegar ao infinito com velocidade final nula (ignorando arrasto atmosférico, rotação, etc.).
Como calcular: usa-se conservação de energia entre a superfície ( r=R) e o infinito ( r\to\infty). A energia total inicial (quando o objeto parte da superfície) é a soma da energia cinética e do potencial gravitacional. Para escapar com velocidade final zero, a energia total precisa ser zero.
Escrevendo a igualdade de energias (energia cinética inicial = módulo da energia potencial gravitacional inicial):
\frac{1}{2} m v^{2} = \frac{G M m}{R},
onde:
  • m é a massa do objeto que tenta escapar (essa massa cancela depois, então o resultado é independente de m),
  • v é a velocidade de escape inicial,
  • G é a constante gravitacional universal,
  • M é a massa do planeta,
  • R é o raio do planeta.

Passo 3

Isolando v na equação anterior para obter a fórmula da velocidade de escape:
v = \sqrt{\frac{2 G M}{R}}.
Explicação dos símbolos (recapitulando):
  • \,v é a velocidade de escape inicial;
  • \,G é constante conhecida (não muda);
  • \,M é a massa do planeta antes da duplicação;
  • \,R é o raio (aqui mantido constante).
Observação: a massa m do objeto cancelou já na equação do Passo 2, por isso a velocidade de escape depende apenas de M e R, não da massa do projétil.

Passo 4

Agora calculemos a nova velocidade de escape v' quando a massa do planeta é M' = 2M e o raio continua R:
v' = \sqrt{\frac{2 G M'}{R}} = \sqrt{\frac{2 G (2M)}{R}}.
Fatorando:
v' = \sqrt{2}\,\sqrt{\frac{2 G M}{R}} = \sqrt{2}\; v.
Portanto a nova velocidade de escape é maior que a original por um fator \sqrt{2}.

Passo 5

Avaliação numérica e interpretação prática.
O fator \sqrt{2} vale aproximadamente
\sqrt{2} \approx 1,414\ldots
Arredondando para uma casa decimal (como nas alternativas), isso é \approx 1,4. Logo, duplicar a massa do planeta (mantendo o raio) aumenta a velocidade de escape por um fator aproximadamente igual a 1,4.

Resposta

c) aumentada de um fator igual a 1,4

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