(6 pontos) Considere a equação de Bernoulli P+\rho g h+(1 / 2) \rho v^{2}= constante. Podemos afirmar que a unidade do termo (1 / 2) \rho v^{2} no SI é:
a) Pascal;
b) Newton;
c) Joule;
d) \mathrm{m} / \mathrm{s};
e) \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

Vamos identificar claramente o que o enunciado pede. Ele mostra a equação de Bernoulli P+\rho g h+\tfrac{1}{2}\rho v^{2}= constante e pergunta qual é a unidade, no SI, do termo \tfrac{1}{2}\rho v^{2}. As opções são:
a) Pascal; b) Newton; c) Joule; d) \mathrm{m}/\mathrm{s}; e) \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.

Passo 2

Anotar as unidades SI das grandezas que aparecem no termo:
  • Densidade de massa \rho tem unidade \displaystyle \left[\rho\right]=\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^{3}}.
  • Velocidade v tem unidade \displaystyle \left[v\right]=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.
    O fator \tfrac{1}{2} é adimensional (não altera unidades).

Passo 3

Calcular as unidades de \rho v^{2} fazendo a multiplicação dimensional:
\left[\rho v^{2}\right]=\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^{3}}\cdot\left(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)^{2}.

Passo 4

Simplificar a expressão de unidades:
\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^{3}}\cdot\frac{\mathrm{m}^{2}}{\mathrm{s}^{2}} =\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{2}} =\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\mathrm{s}^{-2}.

Passo 5

Reconhecer essa combinação como unidade de pressão: a força (Newton) tem unidade \mathrm{N}=\mathrm{kg}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}. Dividindo por área \mathrm{m}^{2} obtemos pressão:
\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}^{2}}=\frac{\mathrm{kg}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}}{\mathrm{m}^{2}}=\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\mathrm{s}^{-2},
que é exatamente o resultado obtido para \rho v^{2}. Portanto \rho v^{2} tem unidade de \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}, isto é, Pascal.

Passo 6

Descartar as outras opções verificando unidades:
  • b) \mathrm{N} tem unidade \mathrm{kg}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2} (difere por fator \mathrm{m}^{2} de onde precisamos).
  • c) \mathrm{J} tem unidade \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}\mathrm{s}^{-2} (energia), não confundir com densidade de energia; \rho v^{2} não é uma energia isolada.
  • d) \mathrm{m}/\mathrm{s} é unidade de velocidade, claramente diferente.
  • e) \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3} é unidade de densidade \rho apenas, não do termo \rho v^{2}.

Passo 7

Conclusão: o termo \tfrac{1}{2}\rho v^{2} tem unidade de pressão no SI, ou seja, Pascal.

Resposta

a) Pascal

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