(2,0 pontos) A mola de um sistema massa-mola tem constante elástica \mathrm{k}= 3 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. É presa uma massa de 2 kg na mola e o movimento se dá em um fluido viscoso que oferece uma resisténcia numericamente igual ao módulo da velocidade instantanea. Determine a expressiōo para a posição da mola em função do tempo, sabendo-se que no instante inicial t=0 a sua posição e x(0)=0,2 m e sua velocidade é nula. Qual é a posição da massa no estado de equilibrio?

Passo 1

O enunciado descreve um sistema massa-mola com amortecimento viscoso. A massa é m=2\:\mathrm{kg}, a constante elástica é k=3\:\mathrm{N/m} e o coeficiente de amortecimento é numericamente igual à velocidade, isto é c=1\:\mathrm{N\,s/m}. Queremos encontrar x(t) para as condições iniciais x(0)=0{,}2\:\mathrm{m} e \dot x(0)=0, e determinar a posição de equilíbrio.

Passo 2

Escrevemos a equação de movimento do oscilador amortecido
m\ddot x + c\dot x + kx = 0
Substituindo m=2, c=1 e k=3 obtemos
2\ddot x + \dot x + 3x = 0.

Passo 3

Formamos a equação característica
2r^2 + r + 3 = 0.
As raízes são
r = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 24}}{4} = \frac{-1 \pm i\sqrt{23}}{4},
logo temos amortecimento subcrítico.

Passo 4

A solução geral é
x(t) = e^{-\tfrac{1}{4}t}\Bigl(A\cos(\omega_d t)+B\sin(\omega_d t)\Bigr)
onde
\omega_d = \frac{\sqrt{23}}{4}.

Passo 5

Impondo as condições iniciais:
  1. x(0)=A=0{,}2.
  2. \dot x(t) = -\tfrac{1}{4}e^{-t/4}(A\cos\omega_d t + B\sin\omega_d t) + e^{-t/4}(-A\omega_d\sin\omega_d t + B\omega_d\cos\omega_d t).
    Em t=0 isso dá
0 = \dot x(0) = -\frac{A}{4} + B\,\omega_d \;\Longrightarrow\; B = \frac{A}{4\,\omega_d} = \frac{0{,}2}{4\cdot(\sqrt{23}/4)} = \frac{0{,}2}{\sqrt{23}}.
Portanto
x(t) = e^{-\tfrac{1}{4}t}\Bigl( 0{,}2\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt{23}}{4}t\bigr) + \frac{0{,}2}{\sqrt{23}}\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt{23}}{4}t\bigr) \Bigr).

Passo 6

Como não há força externa de deslocamento (nem gravidade atuando no equilíbrio), a posição de repouso do sistema é
x_{\mathrm{eq}} = 0.

Resposta

x(t) = e^{-\tfrac{1}{4}t}\Bigl( 0{,}2\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt{23}}{4}t\bigr) + \frac{0{,}2}{\sqrt{23}}\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt{23}}{4}t\bigr) \Bigr), \quad x_{\mathrm{eq}} = 0.

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