(2,0 pontos) A mola de um sistema massa-mola tem constante elástica
. É presa uma massa de 2 kg na mola e o movimento se dá em um fluido viscoso que oferece uma resisténcia numericamente igual ao módulo da velocidade instantanea. Determine a expressiōo para a posição da mola em função do tempo, sabendo-se que no instante inicial
a sua posição e
e sua velocidade é nula. Qual é a posição da massa no estado de equilibrio?
Passo 1
O enunciado descreve um sistema massa-mola com amortecimento viscoso. A massa é
, a constante elástica é
e o coeficiente de amortecimento é numericamente igual à velocidade, isto é
. Queremos encontrar
para as condições iniciais
e
, e determinar a posição de equilíbrio.
Passo 2
Escrevemos a equação de movimento do oscilador amortecido
Substituindo
,
e
obtemos
Passo 3
Formamos a equação característica
As raízes são
logo temos amortecimento subcrítico.
Passo 4
A solução geral é
onde
Passo 5
Impondo as condições iniciais:
-
. -
.
Emisso dá
Portanto
Passo 6
Como não há força externa de deslocamento (nem gravidade atuando no equilíbrio), a posição de repouso do sistema é