Seja
, uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco, tal que
é injetiva. Considere a superficie cilindrica
descrita por
Verifique que existe uma isometria entre
e o plano
.
Passo 1
O enunciado nos dá uma curva
,
com parâmetro de comprimento de arco (logo
) e injetiva, e define a superfície cilíndrica
com
Queremos mostrar que existe uma isometria entre
e o plano
. Para isso, vamos comparar a primeira forma fundamental de
com a métrica euclidiana de
.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de
:
Como
é parametrizada por comprimento de arco, temos
.
Passo 3
Agora os coeficientes da primeira forma fundamental são
Logo a métrica induzida em
é
Isto coincide exatamente com a métrica usual euclidiana em
cujas coordenadas são
.
Passo 4
Definimos o mapeamento
Este
é suave, bijetivo (pois
é injetiva) e seu pull-back da métrica de
é
,
ou seja, igual à métrica de . Portanto
é uma isometria global entre
e
.
ou seja, igual à métrica de
Resposta
A aplicação
é uma isometria de
(com métrica
) sobre a superfície cilíndrica
.