Seja \alpha(s)=(x(s), y(s), 0), s \in \mathbf{R}, uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco, tal que \alpha é injetiva. Considere a superficie cilindrica S descrita por
X(s, v)=(x(s), y(s), v), \quad(s, v) \in \mathbf{R}^{2}
Verifique que existe uma isometria entre S e o plano \mathbf{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá uma curva \alpha(s)=(x(s),y(s),0),
com s parâmetro de comprimento de arco (logo \|\alpha'(s)\|=1) e injetiva, e define a superfície cilíndrica
X(s,v)=(x(s),\,y(s),\,v)\,,\quad (s,v)\in\mathbb R^2.
Queremos mostrar que existe uma isometria entre S=X(\mathbb R^2) e o plano \mathbb R^2. Para isso, vamos comparar a primeira forma fundamental de S com a métrica euclidiana de \mathbb R^2.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de X:
X_s(s,v)=\bigl(x'(s),\,y'(s),\,0\bigr), \quad X_v(s,v)=(0,\,0,\,1).
Como \alpha é parametrizada por comprimento de arco, temos \|X_s\|^2 = x'(s)^2 + y'(s)^2 = 1.

Passo 3

Agora os coeficientes da primeira forma fundamental são
E = \langle X_s, X_s\rangle = 1, \quad F = \langle X_s, X_v\rangle = 0, \quad G = \langle X_v, X_v\rangle = 1.
Logo a métrica induzida em S é
\mathrm{I} = E\,ds^2 + 2F\,ds\,dv + G\,dv^2 = ds^2 + dv^2.
Isto coincide exatamente com a métrica usual euclidiana em \mathbb R^2 cujas coordenadas são (s,v).

Passo 4

Definimos o mapeamento
\varphi\colon\mathbb R^2\to S, \quad \varphi(s,v)=X(s,v)=(x(s),y(s),v).
Este \varphi é suave, bijetivo (pois \alpha é injetiva) e seu pull-back da métrica de S é \varphi^*(\mathrm{I})=ds^2+dv^2,
ou seja, igual à métrica de \mathbb R^2. Portanto \varphi é uma isometria global entre \mathbb R^2 e S.

Resposta

A aplicação
\varphi(s,v)=(x(s),\,y(s),\,v)
é uma isometria de \mathbb R^2 (com métrica ds^2+dv^2) sobre a superfície cilíndrica S.

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