Calcule
\int_{1}^{2}\left(x+\frac{1}{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{2}\Bigl(x+\frac{1}{x}\Bigr)\,dx.
O conteúdo envolvido é integração de soma de funções: vamos usar a linearidade da integral, a regra do poder para x e a integral de 1/x, que resulta em \ln|x|, e em seguida aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Pela linearidade, separamos
\int_{1}^{2}\Bigl(x+\frac{1}{x}\Bigr)\,dx = \int_{1}^{2}x\,dx + \int_{1}^{2}\frac{1}{x}\,dx.

Passo 3

Integramos cada parte:
\int x\,dx = \frac{x^2}{2}, \quad \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|.
Logo uma primitiva de x+\frac1x é
F(x)=\frac{x^2}{2} + \ln|x|.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{1}^{2}\Bigl(x+\frac{1}{x}\Bigr)\,dx =F(2)-F(1) =\Bigl(\frac{2^2}{2} + \ln2\Bigr) -\Bigl(\frac{1^2}{2} + \ln1\Bigr).
Como \ln1=0, isso dá
2 + \ln2 - \frac{1}{2} =\frac{3}{2} + \ln2.

Resposta

\frac{3}{2} + \ln2

Exercícios relacionados