1. ( 2,0 pontos) Mostrar que o limite
\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\\ y \rightarrow 0}} \frac{3 x y}{4 x^{2}+5 y^{2}}
não existe.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\frac{3xy}{4x^{2}+5y^{2}}
e pede para mostrar que o limite
\lim_{\substack{x\to 0\\\ y\to 0}} \frac{3xy}{4x^{2}+5y^{2}}
não existe.
Informações relevantes:
  • O ponto em que se aproxima é (0,0).
  • A expressão é definida para (x,y)\neq(0,0) (no ponto (0,0) o denominador é zero).
  • A tarefa é provar que não existe um único valor limite quando (x,y) tende a (0,0).

Passo 2

Conceito-chave (explicado passo a passo): para limites em duas variáveis, a afirmação
\lim_{\substack{x\to 0\\\ y\to 0}} f(x,y)=L
significa que, independentemente do caminho que (x,y) tome para chegar em (0,0), os valores f(x,y) se aproximam do mesmo número L.
Estratégia prática para mostrar que um limite NÃO existe: basta encontrar duas trajetórias (dois caminhos) diferentes que levem a (0,0) e que produzam dois valores limite distintos. Se acharmos caminhos com limites diferentes, o limite geral não existe. Isso é mais simples do que tentar a definição \varepsilon- \delta diretamente.

Passo 3

Escolha de caminhos fáceis: linhas através da origem. Essas linhas têm equação
y= m x,
onde m é um parâmetro real (a inclinação da linha). Aproximar (x,y) por essa linha significa deixar x\to 0 e tomar y=m x.
Substituindo y=m x na função:
\frac{3x\cdot (m x)}{4x^{2}+5(m x)^{2}} = \frac{3m x^{2}}{4x^{2}+5m^{2}x^{2}}.
Agora fatoramos x^{2} no denominador:
\frac{3m x^{2}}{x^{2}\bigl(4+5m^{2}\bigr)} = \frac{3m}{4+5m^{2}}.
Observação importante: \;4+5m^{2}>0 para todo m\in\mathbb{R}, então não há problema de divisão por zero ao fazer essa simplificação (exceto no ponto (0,0), mas estamos calculando o limite ao nos aproximar dele).
Como a expressão obtida não depende mais de x, quando x\to 0 o valor permanece
\frac{3m}{4+5m^{2}}.
Portanto, o limite de f(x,y) ao longo da reta y=mx é
\lim_{x\to 0} f(x,mx)=\frac{3m}{4+5m^{2}}.

Passo 4

Mostrando dependência do caminho com exemplos numéricos (bem simples):
  • Para m=0 (linha y=0) obtemos
\frac{3\cdot 0}{4+5\cdot 0^{2}}=0.
Logo, ao longo da linha y=0 o limite vale 0.
  • Para m=1 (linha y=x) obtemos
\frac{3\cdot 1}{4+5\cdot 1^{2}}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}.
Logo, ao longo da linha y=x o limite vale \tfrac{1}{3}.
Os dois valores são diferentes ( 0\neq\tfrac{1}{3}). Como já encontramos duas trajetórias que chegam a (0,0) e que dão limites distintos, isso basta para concluir que o limite geral não existe.

Passo 5

Conclusão lógica final: se um limite em duas variáveis existisse, o valor obtido ao aproximar pela reta y=0 e pela reta y=x teria de ser o mesmo. Como são diferentes, o limite
\lim_{\substack{x\to 0\\\ y\to 0}} \frac{3xy}{4x^{2}+5y^{2}}
não existe.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados