- ( 2,0 pontos) Mostrar que o limite
não existe.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para mostrar que o limite
não existe.
Informações relevantes:
- O ponto em que se aproxima é
. - A expressão é definida para
(no ponto o denominador é zero). - A tarefa é provar que não existe um único valor limite quando
tende a .
Passo 2
Conceito-chave (explicado passo a passo): para limites em duas variáveis, a afirmação
significa que, independentemente do caminho que
tome para chegar em
, os valores
se aproximam do mesmo número
.
Estratégia prática para mostrar que um limite NÃO existe: basta encontrar duas trajetórias (dois caminhos) diferentes que levem a
e que produzam dois valores limite distintos. Se acharmos caminhos com limites diferentes, o limite geral não existe. Isso é mais simples do que tentar a definição
-
diretamente.
Passo 3
Escolha de caminhos fáceis: linhas através da origem. Essas linhas têm equação
onde
é um parâmetro real (a inclinação da linha). Aproximar
por essa linha significa deixar
e tomar
.
Substituindo
na função:
Agora fatoramos
no denominador:
Observação importante:
para todo
, então não há problema de divisão por zero ao fazer essa simplificação (exceto no ponto
, mas estamos calculando o limite ao nos aproximar dele).
Como a expressão obtida não depende mais de
, quando
o valor permanece
Portanto, o limite de
ao longo da reta
é
Passo 4
Mostrando dependência do caminho com exemplos numéricos (bem simples):
- Para
(linha ) obtemos
Logo, ao longo da linha
o limite vale
.
- Para
(linha ) obtemos
Logo, ao longo da linha
o limite vale
.
Os dois valores são diferentes (
). Como já encontramos duas trajetórias que chegam a
e que dão limites distintos, isso basta para concluir que o limite geral não existe.
Passo 5
Conclusão lógica final: se um limite em duas variáveis existisse, o valor obtido ao aproximar pela reta
e pela reta
teria de ser o mesmo. Como são diferentes, o limite
não existe.
Resposta
O limite não existe.