1. (2,0 pontos) Seja f(x, y)=x^{4} y^{3}+5 x^{3} y^{4}-4 x^{2} y^{5}, determine:
    a) As derivadas parciais de 1^{\mathrm{a}} ordem da função;
    b) \nabla f(-2,1).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{4}y^{3}+5x^{3}y^{4}-4x^{2}y^{5}
e pede duas coisas:
  • (a) as derivadas parciais de primeira ordem de f, isto é \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y};
  • (b) o gradiente de f no ponto (-2,1), isto é \nabla f(-2,1).
Lista das informações relevantes: a expressão de f(x,y) acima. Não há outras condições ou restrições.

Passo 2

O que é derivada parcial? Vou explicar de um jeito simples: ao calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} tratamos y como se fosse uma constante e derivamos f em relação a x como se fosse uma função de x só. De forma análoga, para \dfrac{\partial f}{\partial y} tratamos x como constante e derivamos em relação a y.
Regras que vou usar (bem mastigadas):
  • Regra do poder: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
  • Se uma expressão é um produto de um fator em x e um fator que é constante em x, o fator constante sai multiplicando na derivada.
    No caso de termos como x^{a}y^{b}, ao derivar em relação a x basta aplicar a regra do poder a x^{a} e multiplicar por y^{b} (que é tratado como constante). O mesmo raciocínio para derivar em y.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}. Vou derivar termo a termo, tratando y como constante.
Termos de f:
  • x^{4}y^{3}. Derivando em x: aplicar a regra do poder em x^{4} 4x^{3}, e multiplicar por y^{3} (constante): resulta 4x^{3}y^{3}.
  • 5x^{3}y^{4}. O coeficiente 5 fica, derivando x^{3} 3x^{2}, e y^{4} é constante: resulta 5\cdot 3x^{2}y^{4}=15x^{2}y^{4}.
  • -4x^{2}y^{5}. Coeficiente -4 fica, derivando x^{2} 2x, e y^{5} é constante: resulta -4\cdot 2x y^{5}=-8x y^{5}.
Agora somo os resultados:
\frac{\partial f}{\partial x}=4x^{3}y^{3}+15x^{2}y^{4}-8x y^{5}.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}. Agora tratamos x como constante e derivamos em relação a y, termo a termo.
Termos de f:
  • x^{4}y^{3}. Com x^{4} constante, derivando y^{3} 3y^{2}: resulta x^{4}\cdot 3y^{2}=3x^{4}y^{2}.
  • 5x^{3}y^{4}. 5x^{3} é constante; derivando y^{4} 4y^{3}: resulta 5x^{3}\cdot 4y^{3}=20x^{3}y^{3}.
  • -4x^{2}y^{5}. -4x^{2} é constante; derivando y^{5} 5y^{4}: resulta -4x^{2}\cdot 5y^{4}=-20x^{2}y^{4}.
Somando:
\frac{\partial f}{\partial y}=3x^{4}y^{2}+20x^{3}y^{3}-20x^{2}y^{4}.

Passo 5

Agora vou calcular o gradiente no ponto (-2,1). O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y}\right).
Então preciso avaliar as fórmulas obtidas em x=-2 e y=1.
Avaliação de \dfrac{\partial f}{\partial x} em (-2,1):
\frac{\partial f}{\partial x}(-2,1)=4(-2)^{3}\cdot 1^{3}+15(-2)^{2}\cdot 1^{4}-8(-2)\cdot 1^{5}.
Calcule com calma os potências e produtos:
(-2)^{3}=-8 então 4\cdot(-8)=-32.
(-2)^{2}=4 então 15\cdot 4=60.
-8(-2)=16.
Somando: -32+60+16=44.
Portanto \dfrac{\partial f}{\partial x}(-2,1)=44.

Passo 6

Avaliação de \dfrac{\partial f}{\partial y} em (-2,1):
\frac{\partial f}{\partial y}(-2,1)=3(-2)^{4}\cdot 1^{2}+20(-2)^{3}\cdot 1^{3}-20(-2)^{2}\cdot 1^{4}.
Calcule passo a passo:
(-2)^{4}=16 então 3\cdot 16=48.
(-2)^{3}=-8 então 20\cdot(-8)=-160.
(-2)^{2}=4 então -20\cdot 4=-80.
Somando: 48-160-80=48-240=-192.
Portanto \dfrac{\partial f}{\partial y}(-2,1)=-192.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=4x^{3}y^{3}+15x^{2}y^{4}-8x y^{5}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=3x^{4}y^{2}+20x^{3}y^{3}-20x^{2}y^{4}
(b) \displaystyle \nabla f(-2,1)=(44,\,-192)

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