- (2,0 pontos) Seja
, determine:
a) As derivadas parciais de
ordem da função;
b)
.
a) As derivadas parciais de
b)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
e pede duas coisas:
- (a) as derivadas parciais de primeira ordem de
, isto é e ; - (b) o gradiente de
no ponto , isto é .
Lista das informações relevantes: a expressão de
acima. Não há outras condições ou restrições.
Passo 2
O que é derivada parcial? Vou explicar de um jeito simples: ao calcular
tratamos
como se fosse uma constante e derivamos
em relação a
como se fosse uma função de
só. De forma análoga, para
tratamos
como constante e derivamos em relação a
.
Regras que vou usar (bem mastigadas):
- Regra do poder:
. - Se uma expressão é um produto de um fator em
e um fator que é constante em , o fator constante sai multiplicando na derivada.
No caso de termos como, ao derivar em relação a basta aplicar a regra do poder a e multiplicar por (que é tratado como constante). O mesmo raciocínio para derivar em .
Passo 3
Calcular
. Vou derivar termo a termo, tratando
como constante.
Termos de
:
-
. Derivando em : aplicar a regra do poder em dá , e multiplicar por (constante): resulta . -
. O coeficiente fica, derivando dá , e é constante: resulta . -
. Coeficiente fica, derivando dá , e é constante: resulta .
Agora somo os resultados:
Passo 4
Calcular
. Agora tratamos
como constante e derivamos em relação a
, termo a termo.
Termos de
:
-
. Com constante, derivando dá : resulta . -
. é constante; derivando dá : resulta . -
. é constante; derivando dá : resulta .
Somando:
Passo 5
Agora vou calcular o gradiente no ponto
. O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
Então preciso avaliar as fórmulas obtidas em
e
.
Avaliação de
em
:
Calcule com calma os potências e produtos:
então
.
então
.
.
Somando: .
Portanto .
Somando:
Portanto
Passo 6
Avaliação de
em
:
Calcule passo a passo:
então
.
então
.
então
.
Somando: .
Portanto .
Somando:
Portanto
Resposta
(a)
(b)