1- ( 2,5 pontos) Dado o problema de valor inicial, resolva a equação diferencial abaixo utilizando transformadas de Laplace. (A soluçâo no domínio do tempo).
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
e pede para resolver a equação diferencial usando transformadas de Laplace, ou seja, encontrar a solução no domínio do tempo
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Vamos lembrar as ferramentas de Laplace que usaremos (explico como se estivesse te ajudando passo a passo na sala de estudos).
Definição da transformada de Laplace: para uma função
(definida para
),
Se escrevermos
, as propriedades importantes são:
- Linearidade:
- Transformada de derivadas (muito útil para EDOs com condições iniciais):
Aqui
e
são as condições iniciais dadas.
- Teorema do deslocamento (shift) em
: se , então
- Transformada de potências:
Daí, pela propriedade de deslocamento, por exemplo
- Inversa básica que vamos usar:
Com essas fórmulas na manga, aplicamos a transformada à EDO.
Passo 3
Aplique
em ambos os lados da equação. Denotando
, usando as fórmulas de derivadas e a transformada do lado direito obtemos:
Substituindo cada termo:
Agora insiro as condições iniciais
e
:
Agrupando os termos em
e os termos constantes:
Porque
. Simplificando o termo constante
. Note que
. Então:
Isolando
:
Separe em parcelas mais fáceis de inverter: primeiro divida o primeiro termo pelo denominador:
E o segundo termo:
Para inverter facilmente, escrevemos
em termos de
:
Assim
Portanto
Passo 4
Agora vamos inverter termo a termo usando a fórmula
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Somando todas as parcelas obtemos a solução no domínio do tempo:
Passo 5
É sempre bom conferir rapidamente as condições iniciais (checar que a solução bate com o enunciado). Avaliando em
:
ok. Diferenciando (produto) para confirmar
:
então
também ok. Está tudo consistente.