1- ( 2,5 pontos) Dado o problema de valor inicial, resolva a equação diferencial abaixo utilizando transformadas de Laplace. (A soluçâo no domínio do tempo).
y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=t^{2} e^{3 t} \quad y(0)=2 ; y^{\prime}(0)=17

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y''-6y'+9y = t^{2} e^{3t},\qquad y(0)=2,\; y'(0)=17
e pede para resolver a equação diferencial usando transformadas de Laplace, ou seja, encontrar a solução no domínio do tempo y(t).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\begin{aligned} &\text{Equação: } &&y''-6y'+9y = t^{2} e^{3t},\\\ &\text{Condições iniciais: } &&y(0)=2,\quad y'(0)=17. \end{aligned}çãçõ

Passo 2

Vamos lembrar as ferramentas de Laplace que usaremos (explico como se estivesse te ajudando passo a passo na sala de estudos).
Definição da transformada de Laplace: para uma função f(t) (definida para t\ge0),
\mathcal{L}\{f(t)\} = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.
Se escrevermos Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, as propriedades importantes são:
  1. Linearidade:
\mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\} = a \mathcal{L}\{f(t)\} + b \mathcal{L}\{g(t)\}.
  1. Transformada de derivadas (muito útil para EDOs com condições iniciais):
\mathcal{L}\{y'(t)\} = sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\} = s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Aqui y(0) e y'(0) são as condições iniciais dadas.
  1. Teorema do deslocamento (shift) em s: se \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s), então
\mathcal{L}\{e^{at} f(t)\} = F(s-a).
  1. Transformada de potências:
\mathcal{L}\{t^{n}\} = \frac{n!}{s^{\,n+1}}\quad (n\in\mathbb{N}).
Daí, pela propriedade de deslocamento, por exemplo
\mathcal{L}\{t^{2} e^{3t}\} = \frac{2}{(s-3)^{3}}.
  1. Inversa básica que vamos usar:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s-a)^{n}}\right\} = \frac{t^{\,n-1}}{(n-1)!}\,e^{at}.
Com essas fórmulas na manga, aplicamos a transformada à EDO.

Passo 3

Aplique \mathcal{L}\{\cdot\} em ambos os lados da equação. Denotando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, usando as fórmulas de derivadas e a transformada do lado direito obtemos:
\mathcal{L}\{y''\}-6\mathcal{L}\{y'\}+9\mathcal{L}\{y\} = \mathcal{L}\{t^{2} e^{3t}\}.
Substituindo cada termo:
\big(s^{2}Y(s)-s y(0)-y'(0)\big) -6\big(sY(s)-y(0)\big) +9Y(s) = \frac{2}{(s-3)^{3}}.
Agora insiro as condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=17:
\big(s^{2}Y - 2s -17\big) -6\big(sY-2\big) +9Y = \frac{2}{(s-3)^{3}}.
Agrupando os termos em Y e os termos constantes:
Y\big(s^{2}-6s+9\big) +(-2s-17+12) = \frac{2}{(s-3)^{3}}.
Porque -6(-2)=+12. Simplificando o termo constante -2s-17+12 = -2s-5. Note que s^{2}-6s+9=(s-3)^{2}. Então:
Y(s)\,(s-3)^{2} -2s-5 = \frac{2}{(s-3)^{3}}.
Isolando Y(s):
Y(s) = \frac{\dfrac{2}{(s-3)^{3}} + 2s +5}{(s-3)^{2}}.
Separe em parcelas mais fáceis de inverter: primeiro divida o primeiro termo pelo denominador:
\frac{2}{(s-3)^{3}}\cdot\frac{1}{(s-3)^{2}}=\frac{2}{(s-3)^{5}}.
E o segundo termo:
\frac{2s+5}{(s-3)^{2}}.
Para inverter facilmente, escrevemos 2s+5 em termos de s-3:
2s+5 = 2(s-3)+11.
Assim
\frac{2s+5}{(s-3)^{2}}=\frac{2(s-3)}{(s-3)^{2}}+\frac{11}{(s-3)^{2}} = \frac{2}{(s-3)} + \frac{11}{(s-3)^{2}}.
Portanto
Y(s) = \frac{2}{(s-3)^{5}} + \frac{2}{(s-3)} + \frac{11}{(s-3)^{2}}.

Passo 4

Agora vamos inverter termo a termo usando a fórmula
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s-a)^{n}}\right\} = \frac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{at}.
  1. Para \dfrac{2}{(s-3)^{5}}:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{2}{(s-3)^{5}}\right\} = 2\cdot\frac{t^{4}}{4!}e^{3t} = 2\cdot\frac{t^{4}}{24}e^{3t} = \frac{t^{4}}{12}e^{3t}.
  1. Para \dfrac{2}{(s-3)}:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{2}{(s-3)}\right\} = 2 e^{3t}.
  1. Para \dfrac{11}{(s-3)^{2}}:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{11}{(s-3)^{2}}\right\} = 11\cdot t\,e^{3t}.
Somando todas as parcelas obtemos a solução no domínio do tempo:
y(t) = e^{3t}\left(\frac{t^{4}}{12} + 11t + 2\right).

Passo 5

É sempre bom conferir rapidamente as condições iniciais (checar que a solução bate com o enunciado). Avaliando em t=0:
y(0) = e^{0}\left(0 + 0 + 2\right) = 2,
ok. Diferenciando (produto) para confirmar y'(0)=17:
y'(t) = 3e^{3t}\left(\frac{t^{4}}{12}+11t+2\right) + e^{3t}\left(\frac{t^{3}}{3}+11\right),
então
y'(0) = 3\cdot 1 \cdot 2 + 1\cdot 11 = 6+11=17,
também ok. Está tudo consistente.

Resposta

y(t)=e^{3t}\left(\frac{t^{4}}{12}+11t+2\right)

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