3- (7.5 pontos) Mostre se a série converge ou diverge
b) sumk=1^infty 11^k(k!)^3(3 k)!

Passo 1

O enunciado pede para mostrar se a série sumk=1^infty 11^k(k!)^3(3k)! converge ou diverge. O conteúdo principal é o teste da razão de d’Alembert e vamos precisar calcular limktoinfty l|uk+1/ukr|.

Passo 2

Vamos aplicar o critério da razão, que diz: se uk são os termos gerais da série, e L=limktoinfty |uk+1/uk| existe, então a série converge se L<1, diverge se L>1 e o teste é inconclusivo se L=1.
Calculamos a razão:
uk+1uk =11^k+1l((k+1)!r)^3/(3(k+1))!11^k(k!)^3/(3k)! =11cdot(k+1)^3,(k!)^3(3k+3)(3k+2)(3k+1),(3k)!cdot(3k)!(k!)^3 =11,(k+1)^3(3k+1)(3k+2)(3k+3)

Passo 3

Agora tomamos o limite quando ktoinfty:
L=limktoinfty11,(k+1)^3(3k+1)(3k+2)(3k+3) =11,127=1127<1

Passo 4

Como L=11/27<1, pelo critério da razão a série converge absolutamente, logo converge.

Resposta

A série converge, pois pelo teste da razão obtivemos L=11/27<1.

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