3- (7.5 pontos) Mostre se a série converge ou diverge
c) sumk=2^infty 1raiz[3](k+1)^2-1

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos analisar a convergência da série sumk=2^infty1raiz[3](k+1)^2-1. O conteúdo envolve testes de convergência de séries numéricas, em especial o teste da série-p e o teste de comparação (ou comparação limite).

Passo 2

Para verificar o comportamento do termo geral, note que para grandes k temos
(k+1)^2-1=k^2+2k,
portanto
raiz[3](k+1)^2-1=l(k^2(1+2/k)r)^1/3=k^2/3,(1+2/k)^1/3
Logo, o termo geral da série se comporta como 1/k^2/3.

Passo 3

Agora aplicamos o teste da comparação limite com a série-p sum1/k^2/3. Calculamos
limktoinfty 1/raiz[3](k+1)^2-11/k^2/3 =limktoinftyk^2/3raiz[3]k^2+2k =limktoinftyk^2/3k^2/3(1+2/k)^1/3 =1

Passo 4

Como esse limite é finito e não nulo, as duas séries têm o mesmo comportamento. A série-p com p=2/3 diverge (pois p<=1), então a série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

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