(2 pontos) NotasDeAulas [2024] Seja a aplicação T: R^2 R^3, onde T(x, y)= (x-y, x+y, y-x) é linear? Justifique.

Passo 1

O enunciado nos dá uma aplicação
Tcolon R^2toR^3
definida por
T(x,y) = (,x - y,;x + y,;y - x,)
Pergunta-se se T é linear, isto é, se preserva soma de vetores e multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos a aditividade. Sejam
u=(x1,y1) e v=(x2,y2) em R^2. Então
u+v = (,x1+x2,,y1+y2,)
e
T(u+v) = l((x1+x2) - (y1+y2),;(x1+x2)+(y1+y2),;(y1+y2)-(x1+x2)r)
Por distribuidividade,
T(u+v) = (x1-y1,,x1+y1,,y1-x1) + (x2-y2,,x2+y2,,y2-x2) = T(u) + T(v)

Passo 3

Verificamos a homogeneidade. Seja cinR e u=(x1,y1). Então
c,u = (,c,x1,,c,y1,)
e
T(c,u) = (,c,x1 - c,y1,;c,x1 + c,y1,;c,y1 - c,x1,) = c,(x1-y1,,x1+y1,,y1-x1) = c,T(u)

Resposta

Sim, T é linear, pois satisfaz
T(u+v)=T(u)+T(v) e T(c,u)=c,T(u) para todo u,vinR^2 e cinR.

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