(2,0 pontos) O número N de bactérias em um alimento refrigerado é dado por:
N(T)=20 T^{2}-80 T+500 \quad 2 \leq T \leq 14
onde T é a temperatura do alimento em graus Celsius. Quando o alimento é retirado da refrigeração, a temperatura do alimento é dada por:
T(t)=4 t+2 \quad 0 \leq t \leq 3
onde t é o tempo em horas.
a) Encontre e interprete (N \circ T)(t)
b) Encontre o tempo em que a contagem de bactérias atinge 2.000 , utilizando a função composta encontrada.

Passo 1

O enunciado dá duas funções: a quantidade de bactérias em função da temperatura,
N(T)=20T^{2}-80T+500,\quad 2\le T\le14,
e a temperatura em função do tempo,
T(t)=4t+2,\quad 0\le t\le3.
Pede-se (a) a função composta (N\circ T)(t) e sua interpretação; (b) resolver (N\circ T)(t)=2000. Vamos usar o conceito de composição de funções e depois resolver uma equação quadrática simples.

Passo 2

Para obter (N\circ T)(t) substituímos T=T(t) em N(T). Assim,
(N\circ T)(t)=N\bigl(T(t)\bigr) =20\bigl(4t+2\bigr)^{2}-80\bigl(4t+2\bigr)+500.

Passo 3

Agora simplificamos a expressão e interpretamos o resultado. Primeiro,
(4t+2)^{2}=16t^{2}+16t+4,
então
20(16t^{2}+16t+4)=320t^{2}+320t+80,
e
-80(4t+2)=-320t-160.
Somando tudo mais 500, obtemos
(N\circ T)(t)=320t^{2}+(320t-320t)+(80-160+500)=320t^{2}+420.
Interpretação: (N\circ T)(t)=320t^{2}+420 é o número de bactérias no alimento t horas após tirá-lo da refrigeração.

Passo 4

Para achar o tempo em que a contagem atinge 2000, montamos a equação
320t^{2}+420=2000.
Isso é uma equação quadrática na forma at^{2}+c=0 (aqui a=320 e c=420-2000=-1580).

Passo 5

Isolando t^{2}:
320t^{2}=2000-420=1580 \quad\Rightarrow\quad t^{2}=\frac{1580}{320}=\frac{79}{16} \quad\Rightarrow\quad t=\sqrt{\frac{79}{16}}=\frac{\sqrt{79}}{4}\approx2{,}22\\ \text{horas}.
Descartamos a raiz negativa pois t\ge0 e confirmamos que 2{,}22\in[0,3].

Resposta

a) (N\circ T)(t)=320t^{2}+420, que representa o número de bactérias t horas após a remoção da refrigeração.
b) A contagem atinge 2000 bactérias em
t=\frac{\sqrt{79}}{4}\approx2{,}22\\ \text{horas}.

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