Questão 4 (15 pts) - Calcule a integral dupla: \iint_{\mathrm{R}}\left(\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}\right) \mathrm{dA}, onde R é a região delimitada pela circunfééncia x^{2}+y^{2}=9, restrita ao primeiro quadrante.

Passo 1

O enunciado pede calcular
\iint_{R}(x^{2}+y^{2})\,\mathrm{dA},
onde R é o quarto de círculo de raio 3 no primeiro quadrante. Como a região é circular e o integrando depende de x^{2}+y^{2}, faz sentido usar coordenadas polares.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta
logo
x^{2}+y^{2} = r^{2}, \quad \mathrm{dA} = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.
Os limites são 0\le r\le3 e 0\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}. Assim a integral vira
\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{3}r^{2}\cdot r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta = \int_{0}^{\pi/2}\!\int_{0}^{3}r^{3}\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.

Passo 3

Primeiro calcule a integral em r:
\int_{0}^{3}r^{3}\,\mathrm{d}r = \frac{r^{4}}{4}\Big|_{0}^{3} = \frac{81}{4}.
Agora integre em \theta:
\int_{0}^{\pi/2}\frac{81}{4}\,\mathrm{d}\theta = \frac{81}{4}\,\Bigl(\frac{\pi}{2}-0\Bigr) = \frac{81\pi}{8}.

Resposta

\displaystyle \frac{81\pi}{8}

Exercícios relacionados