Questão 3 (15 pts) - Uma lâmina plana ocupa a região delimitada por: y=0, y=4-x^{2} e x=0. A densidade superficial da lâmina é dada por: \bar{\delta}(x, y)=x^{2}. Calcule a massa da lâmina.

Passo 1

O enunciado pede a massa de uma lâmina de densidade superficial \bar{\delta}(x,y)=x^2 ocupando a região limitada por y=0, y=4-x^2 e x=0. O conteúdo é cálculo de integrais duplas para massa de uma lâmina, usando a fórmula
m = \iint_R \bar{\delta}(x,y)\,dA.

Passo 2

Para descrever a região R, note que y varia entre 0 e 4-x^2. Como também precisamos de 4-x^2\ge0 e x\ge0, temos
0 \;\le\; x \;\le\; 2, \quad 0 \;\le\; y \;\le\; 4 - x^2.

Passo 3

Montamos a integral dupla na ordem dy\,dx:
m = \int_{x=0}^{2}\int_{y=0}^{4-x^2} x^2\,dy\,dx.

Passo 4

Primeiro integramos em y, tratando x^2 como constante:
\int_{y=0}^{4-x^2} x^2\,dy = x^2\bigl[y\bigr]_{0}^{4-x^2} = x^2\,(4 - x^2).
Logo
m = \int_{0}^{2} \bigl(4x^2 - x^4\bigr)\,dx.

Passo 5

Agora calculamos a integral em x:
\int_{0}^{2}4x^2\,dx = \frac{4\cdot2^3}{3} = \frac{32}{3}, \quad \int_{0}^{2}x^4\,dx = \frac{2^5}{5} = \frac{32}{5}.
Portanto
m = \frac{32}{3} - \frac{32}{5} = 32\Bigl(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\Bigr) = \frac{64}{15}.

Resposta

A massa da lâmina é \displaystyle \frac{64}{15}.

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