( 2,0 pontos) Uma onda plana com amplitude de campo elétrico igual a
e frequência angular
propaga-se em um meio caracterizado por
,
9 e
. Determine:
a) a tangente de perdas;
b) a constante de fase
;
c) o coeficiente de atenuação
;
d) a constante de propagação
.
a) a tangente de perdas;
b) a constante de fase
c) o coeficiente de atenuação
d) a constante de propagação
Passo 1
O enunciado dá uma onda plana com:
- amplitude do campo elétrico:
(não será usada para , mas foi informada); - frequência angular:
; - parâmetros do meio:
, e .
Pede-se:
(a) a tangente de perdas ;
(b) a constante de fase ;
(c) o coeficiente de atenuação ;
(d) a constante de propagação complexa .
(a) a tangente de perdas
(b) a constante de fase
(c) o coeficiente de atenuação
(d) a constante de propagação complexa
Vou usar as fórmulas padrão para meio dielétrico condutor (lossy dielectric) e calcular numericamente todos os termos passo a passo.
Passo 2
O que é a tangente de perdas e como calculá-la.
- Definição:
mede a razão entre corrente condutiva e corrente de deslocamento no material; é uma medida adimensional do “quanto o meio perde energia”. - Fórmula prática:
onde
é a condutividade (em
),
a frequência angular (em
) e
a permissividade absoluta do meio (em
).
Antes de calcular, lembro que
e
. Então:
Calculo de
:
Agora a tangente de perdas:
Passo 3
Explicando a constante de propagação complexa e as fórmulas úteis.
- A constante de propagação é
. - Para um meio com
, e vale:
- Uma forma útil de obter
e (valores reais) é:
- Onde
e .
Essas fórmulas vêm da escrita de
com
e separação em partes real e imaginária — não precisa decorar a derivação inteira na prova, mas sim saber aplicar as fórmulas e interpretar cada termo.
Passo 4
Simplificação usando constantes conhecidas (maneira prática para calcular sem lidar com números muito pequenos).
- Velocidade da luz no vácuo:
. - Observação útil:
- Para
e tem-se . - Definindo
(número de onda no vácuo), temos
Isso facilita muito o cálculo numérico evitando multiplicações com números muito pequenos.
Passo 5
Calcule
e o fator comum numericamente.
-
. -
- Então o fator comum
Passo 6
Reuso do
(já calculado) para determinar os radicais nas fórmulas de
e
.
- Recordando:
. - Calcule os dois termos sob as raízes:
- Assim:
Passo 7
Cálculo numérico do coeficiente de atenuação
.
Usando a fórmula e os valores anteriores:
Interpretação rápida:
em
indica quantos nepers a onda perde por metro;
corresponde a um fator
na amplitude.
Passo 8
Cálculo numérico da constante de fase
.
Usando a fórmula:
Observação: em um meio sem perdas (
) teríamos
. Aqui a perda causa um pequeno aumento de
.
Passo 9
Escrevendo a constante de propagação complexa
.
(Unidade:
em
,
em
;
tem unidade
.)