( 2,0 pontos) Uma onda plana com amplitude de campo elétrico igual a 20 \mathrm{~V} / \mathrm{m} e frequência angular \omega=2 \pi .10^{9} \mathrm{rad} / \mathrm{s} propaga-se em um meio caracterizado por \mu_{\mathrm{r}}=1, \varepsilon_{\mathrm{t}}= 9 e \sigma=0,05 \mathrm{~S} / \mathrm{m}. Determine:
a) a tangente de perdas;
b) a constante de fase \beta;
c) o coeficiente de atenuação \alpha;
d) a constante de propagação \gamma.

Passo 1

O enunciado dá uma onda plana com:
  • amplitude do campo elétrico: 20\\ \mathrm{V/m} (não será usada para \alpha,\beta,\gamma, mas foi informada);
  • frequência angular: \omega=2\pi\cdot10^{9}\\ \mathrm{rad/s};
  • parâmetros do meio: \mu_{r}=1, \varepsilon_{r}=9 e \sigma=0{,}05\\ \mathrm{S/m}.
Pede-se:
(a) a tangente de perdas \tan\delta;
(b) a constante de fase \beta;
(c) o coeficiente de atenuação \alpha;
(d) a constante de propagação complexa \gamma.
Vou usar as fórmulas padrão para meio dielétrico condutor (lossy dielectric) e calcular numericamente todos os termos passo a passo.

Passo 2

O que é a tangente de perdas e como calculá-la.
  • Definição: \tan\delta mede a razão entre corrente condutiva e corrente de deslocamento no material; é uma medida adimensional do “quanto o meio perde energia”.
  • Fórmula prática:
\tan\delta=\dfrac{\sigma}{\omega\varepsilon},
onde \sigma é a condutividade (em \mathrm{S/m}), \omega a frequência angular (em \mathrm{rad/s}) e \varepsilon a permissividade absoluta do meio (em \mathrm{F/m}).
Antes de calcular, lembro que \varepsilon=\varepsilon_{r}\varepsilon_{0} e \varepsilon_{0}=8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}. Então:
\varepsilon=\varepsilon_{r}\varepsilon_{0}=9\cdot 8{,}854187817\times10^{-12}=7{,}9687690353\times10^{-11}\\ \mathrm{F/m}.
Calculo de \omega\varepsilon:
\omega\varepsilon=(2\pi\cdot10^{9})\cdot 7{,}9687690353\times10^{-11}\approx 0{,}5007\\ \mathrm{S/m}.
Agora a tangente de perdas:
\tan\delta=\dfrac{0{,}05}{0{,}5007}\approx 0{,}0999\approx 0{,}10.

Passo 3

Explicando a constante de propagação complexa e as fórmulas úteis.
  • A constante de propagação é \gamma=\alpha + j\beta.
  • Para um meio com \varepsilon, \mu e \sigma vale:
\gamma = \sqrt{j\omega\mu\left(\sigma + j\omega\varepsilon\right)}.
  • Uma forma útil de obter \alpha e \beta (valores reais) é:
\alpha=\omega\sqrt{\dfrac{\mu\varepsilon}{2}}\left[\sqrt{1+\left(\dfrac{\sigma}{\omega\varepsilon}\right)^{2}}-1\right]^{1/2},
\beta=\omega\sqrt{\dfrac{\mu\varepsilon}{2}}\left[\sqrt{1+\left(\dfrac{\sigma}{\omega\varepsilon}\right)^{2}}+1\right]^{1/2}.
  • Onde \mu=\mu_{r}\mu_{0} e \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.
Essas fórmulas vêm da escrita de \gamma=j\omega\sqrt{\mu\tilde\varepsilon} com \tilde\varepsilon=\varepsilon-j\sigma/\omega e separação em partes real e imaginária — não precisa decorar a derivação inteira na prova, mas sim saber aplicar as fórmulas e interpretar cada termo.

Passo 4

Simplificação usando constantes conhecidas (maneira prática para calcular sem lidar com números muito pequenos).
  • Velocidade da luz no vácuo: c_{0}=299\,792\,458\\ \mathrm{m/s}.
  • Observação útil:
\sqrt{\mu\varepsilon}=\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}\,\mu_{r}\varepsilon_{r}}=\dfrac{\sqrt{\mu_{r}\varepsilon_{r}}}{c_{0}}.
  • Para \mu_{r}=1 e \varepsilon_{r}=9 tem-se \sqrt{\mu_{r}\varepsilon_{r}}=3.
  • Definindo k_{0}=\dfrac{\omega}{c_{0}} (número de onda no vácuo), temos
\omega\sqrt{\dfrac{\mu\varepsilon}{2}}=\dfrac{\omega}{\sqrt{2}}\sqrt{\mu\varepsilon}=\dfrac{k_{0}\sqrt{\mu_{r}\varepsilon_{r}}}{\sqrt{2}}=\dfrac{3k_{0}}{\sqrt{2}}.
Isso facilita muito o cálculo numérico evitando multiplicações com números muito pequenos.

Passo 5

Calcule k_{0} e o fator comum numericamente.
  • f=\dfrac{\omega}{2\pi}=1\times10^{9}\\ \mathrm{Hz}.
  • k_{0}=\dfrac{\omega}{c_{0}}=\dfrac{2\pi\cdot10^{9}}{299\,792\,458}\approx 20{,}958450\\ \mathrm{rad/m}.
  • Então o fator comum
\omega\sqrt{\dfrac{\mu\varepsilon}{2}}=\dfrac{3k_{0}}{\sqrt{2}}\approx \dfrac{3\cdot 20{,}958450}{1{,}41421356}\approx 44{,}48\\ \mathrm{m^{-1}}.

Passo 6

Reuso do \tan\delta (já calculado) para determinar os radicais nas fórmulas de \alpha e \beta.
  • Recordando: \dfrac{\sigma}{\omega\varepsilon}=\tan\delta\approx 0{,}0999.
  • Calcule os dois termos sob as raízes:
\sqrt{1+\tan^{2}\delta}\approx \sqrt{1+0{,}0999^{2}}\approx \sqrt{1+0{,}00998}\approx 1{,}00497.
  • Assim:
\sqrt{\sqrt{1+\tan^{2}\delta}-1}=\sqrt{1{,}00497-1}=\sqrt{0{,}00497}\approx 0{,}0705,
\sqrt{\sqrt{1+\tan^{2}\delta}+1}=\sqrt{1{,}00497+1}=\sqrt{2{,}00497}\approx 1{,}4153.

Passo 7

Cálculo numérico do coeficiente de atenuação \alpha.
Usando a fórmula e os valores anteriores:
\alpha=\left(44{,}48\right)\cdot 0{,}0705\approx 3{,}13\\ \mathrm{Np/m}.
Interpretação rápida: \alpha em \mathrm{Np/m} indica quantos nepers a onda perde por metro; 1\\ \mathrm{Np} corresponde a um fator e^{-1} na amplitude.

Passo 8

Cálculo numérico da constante de fase \beta.
Usando a fórmula:
\beta=\left(44{,}48\right)\cdot 1{,}4153\approx 62{,}9\\ \mathrm{rad/m}.
Observação: em um meio sem perdas ( \sigma=0) teríamos \beta=k_{0}\sqrt{\varepsilon_{r}}=3k_{0}\approx 62{,}88\\ \mathrm{rad/m}. Aqui a perda causa um pequeno aumento de \beta.

Passo 9

Escrevendo a constante de propagação complexa \gamma.
\gamma=\alpha + j\beta \approx 3{,}13 + j\,62{,}9\\ \mathrm{m^{-1}}.
(Unidade: \alpha em \mathrm{Np/m}, \beta em \mathrm{rad/m}; \gamma tem unidade \mathrm{m^{-1}}.)

Resposta

\tan\delta \approx 0{,}10
\beta \approx 62{,}9\\ \mathrm{rad/m}
\alpha \approx 3{,}13\\ \mathrm{Np/m}
\gamma \approx 3{,}13 + j\,62{,}9\\ \mathrm{m^{-1}}

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