(2,0 pontos ) Se \vec{H}=5 \operatorname{sen}(\omega t \div 2 z) i \mathrm{~mA} / \mathrm{m} em um material onde \sigma=0, \mu=\mu_{0} e \varepsilon= 9 \varepsilon_{0}, calcule
(a) \omega,
(b) \lambda
(c) a corrente de condução J
(d) a corrente de deslocamento \mathrm{J}_{\mathrm{d}}

Passo 1

Listando claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dado: \vec{H}=5\\ \operatorname{sen}(\omega t - 2 z)\,\hat{\imath}\\ \mathrm{mA}/\mathrm{m}.
    (Interpretei o símbolo \div do enunciado como um sinal de menos, isto é, o argumento é \omega t-2z.)
  • Dado: condutividade \sigma=0.
  • Dado: permeabilidade \mu=\mu_{0}.
  • Dado: permissividade \varepsilon=9\varepsilon_{0}.
  • O enunciado pede:
    (a) \omega (frequência angular),
    (b) \lambda (comprimento de onda no meio),
    (c) corrente de condução \vec{J},
    (d) corrente de deslocamento \vec{J}_{\mathrm{d}}.

Passo 2

Identificar a constante de propagação espacial e relacioná‑la a \omega.
  • O argumento da seno é \omega t-2z. Portanto o coeficiente espacial (número de onda) é \beta=2\\ \text{rad/m}.Para uma onda plana em meio não condutor vale a relação de dispersão \beta = k = \omega\sqrt{\mu\varepsilon}.Isolando \omega: \omega=\frac{\beta}{\sqrt{\mu\varepsilon}}.
  • Como \mu=\mu_{0} e \varepsilon=9\varepsilon_{0} tem-se \sqrt{\mu\varepsilon}=\sqrt{\mu_{0}\cdot 9\varepsilon_{0}}=3\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}=\frac{3}{c},onde c=\dfrac{1}{\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}} é a velocidade da luz no vácuo (aprox. c\approx 3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}).
  • Substituindo: \omega=\beta\frac{c}{3}.Com \beta=2\\ \mathrm{rad/m} e c\approx 3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}, \omega=2\cdot\frac{3\times10^{8}}{3}=2\times10^{8}\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Calcular o comprimento de onda \lambda.
  • A relação entre número de onda e comprimento de onda é \lambda=\frac{2\pi}{\beta}.
  • Com \beta=2\\ \mathrm{rad/m}, \lambda=\frac{2\pi}{2}=\pi\\ \mathrm{m}\approx3{,}1416\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Encontrar o campo elétrico associado (necessário para as correntes).
  • Para uma onda plana no sentido +\hat{z}, com \vec{H} na direção \hat{\imath}, o campo elétrico \vec{E} é perpendicular a ambos e dado por \vec{E}=\eta\bigl(\hat{k}\times\vec{H}\bigr),onde \eta=\sqrt{\dfrac{\mu}{\varepsilon}} é a impedância intrínseca do meio e \hat{k}=\hat{z} é a direção de propagação.
  • Calculando \eta: \eta=\sqrt{\frac{\mu_{0}}{9\varepsilon_{0}}}=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{\mu_{0}}{\varepsilon_{0}}}=\frac{\eta_{0}}{3},com \eta_{0}\approx 377\\ \Omega. Logo \eta\approx\frac{377}{3}\\ \Omega\approx125{,}7\\ \Omega.
  • Amplitude de H: H_{0}=5\\ \mathrm{mA/m}=5\times10^{-3}\\ \mathrm{A/m}.
  • Amplitude de E: E_{0}=\eta H_{0}\approx125{,}7\cdot 5\times10^{-3}\\ \mathrm{V/m}\approx0{,}6283\\ \mathrm{V/m}.
  • Direção: \hat{z}\times\hat{\imath}=\hat{\jmath}. Portanto \vec{E}=E_{0}\,\operatorname{sen}(\omega t-2z)\,\hat{\jmath}com E_{0}\approx0{,}6283\\ \mathrm{V/m}.

Passo 5

Corrente de condução \vec{J}.
  • A corrente de condução em meios lineares é dada por \vec{J}=\sigma\vec{E}.
  • Como \sigma=0, conclui‑se imediatamente que \vec{J}=\vec{0}\quad(\mathrm{A/m^{2}}).

Passo 6

Corrente de deslocamento \vec{J}_{\mathrm{d}}.
  • Definição: \vec{J}_{\mathrm{d}}=\dfrac{\partial\vec{D}}{\partial t}=\varepsilon\,\dfrac{\partial\vec{E}}{\partial t}.
  • Temos \vec{E}=E_{0}\sin(\omega t-2z)\,\hat{\jmath}. Então \frac{\partial\vec{E}}{\partial t}=E_{0}\,\omega\cos(\omega t-2z)\,\hat{\jmath}.
  • Portanto \vec{J}_{\mathrm{d}}=\varepsilon\,E_{0}\,\omega\cos(\omega t-2z)\,\hat{\jmath}.
  • Substituindo valores numéricos: \varepsilon=9\varepsilon_{0}=9\cdot8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}\approx7{,}9686\times10^{-11}\\ \mathrm{F/m},
\omega=2\times10^{8}\\ \mathrm{rad/s},\qquad E_{0}\approx0{,}6283\\ \mathrm{V/m}.
Calculando a amplitude
J_{d0}=\varepsilon\,\omega\,E_{0}\approx 7{,}9686\times10^{-11}\cdot 2\times10^{8}\cdot 0{,}6283\\ \mathrm{A/m^{2}}\approx0{,}01001\\ \mathrm{A/m^{2}}.
  • Assim em forma completa no tempo: \vec{J}_{\mathrm{d}}\approx 0{,}01001\cos(\omega t-2z)\,\hat{\jmath}\\ \mathrm{A/m^{2}}.

Resposta

(a) \omega=2\times10^{8}\\ \mathrm{rad/s}
(b) \lambda=\pi\\ \mathrm{m}\\ (\approx3{,}1416\\ \mathrm{m})
(c) \vec{J}=\vec{0}\\ \mathrm{A/m^{2}}
(d) \displaystyle \vec{J}_{\mathrm{d}}\approx 0{,}01001\cos(\omega t-2z)\,\hat{\jmath}\\ \mathrm{A/m^{2}}

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