Em um dia de chuva, água ( \rho=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ) acumula em uma área de 5 \mathrm{~m} \times 5 \mathrm{~m}, formando um filme de espessura 0,3 \mathrm{~mm}. Logo após a chuva parar, a temperatura ambiente cai para 15^{\circ} \mathrm{C} e um vento de 50 \mathrm{~km} / \mathrm{h} sopra sobre a área.
Sabe-se que a concentração mássica da água na superfície do filme é igual a 0,0128 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e no ar é igual a 0,0045 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.
Considere que o coeficiente de difisuvidade da água no ar é igual a 2,33 \times 10^{-5} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}, nas condições especificadas.
a) Calcule a quantidade de água que ficou acumulada na área citada no problema.
b) Calcule a taxa mássica de água que é transferida por convecção forçada do filme para o ar.
c) Determine quanto tempo, em minutos, levará para que a área esteja completamente seca.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede o que está listado abaixo.
Dados fornecidos:
\rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}
\text{área } A = 5\\ \mathrm{m} \times 5\\ \mathrm{m}á
\text{espessura do filme } \delta = 0{,}3\\ \mathrm{mm}
c_{\text{superfície}} = 0{,}0128\\ \mathrm{kg/m^{3}}í
c_{\infty} = 0{,}0045\\ \mathrm{kg/m^{3}}
D = 2{,}33\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s}
\text{vento } U = 50\\ \mathrm{km/h}
\text{temperatura ambiente } = 15^\circ\mathrm{C}
Perguntas (o que é pedido):
a) Calcular a quantidade de água acumulada na área (massa total de água no filme).
b) Calcular a taxa mássica de água transferida por convecção forçada do filme para o ar (ou seja, \dot m total).
c) Determinar o tempo, em minutos, para que a área fique completamente seca (assumindo que as condições dadas permanecem constantes).
Observação: todos os dados necessários para a questão estão acima. No Passo seguinte vou explicar e aplicar o método para obter cada resposta, justificando as aproximações que usarei.

Passo 2

(a) Cálculo da massa de água acumulada (passo direto e óbvio).
Primeiro calculo a área e a espessura em unidades SI:
A = 5\\ \mathrm{m}\times 5\\ \mathrm{m} = 25\\ \mathrm{m^{2}}
\delta = 0{,}3\\ \mathrm{mm} = 0{,}3\times10^{-3}\\ \mathrm{m} = 3{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}
Volume do filme:
V = A\cdot\delta = 25\cdot 3{,}0\times10^{-4} = 7{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}
Massa da água no filme (usando \text{massa}=\rho V):
m = \rho V = 1000\cdot 7{,}5\times10^{-3} = 7{,}5\\ \mathrm{kg}
Expliquei: para calcular a massa, multiplicamos densidade pelo volume; volume é área vezes espessura. Nada de complicado — já temos a resposta parcial.

Passo 3

(b) Estratégia para calcular a taxa mássica por convecção forçada.
Teoria básica (explicação didática):
  • Em convecção de massa, a taxa de transferência por unidade de área (fluxo mássico) é dada pela lei do filme (análoga à lei de Newton para calor):
j = k_{c}\,\bigl(c_{\text{s}} - c_{\infty}\bigr)
onde:
  • j é o fluxo mássico por área (em \mathrm{kg/(m^{2}\,s)}),
  • k_{c} é o coeficiente convectivo de massa (em \mathrm{m/s}),
  • c_{\text{s}} é a concentração na superfície (em \mathrm{kg/m^{3}}),
  • c_{\infty} é a concentração no escoamento distante (em \mathrm{kg/m^{3}}).
  • Para estimar k_{c} usamos números adimensionais: Sherwood ( \mathrm{Sh}), Reynolds ( \mathrm{Re}) e Schmidt ( \mathrm{Sc}). Relação conveniente:
k_{c} = \dfrac{\mathrm{Sh}\cdot D}{L}
onde L é um comprimento característico da placa/área exposta ao vento. Para um escoamento sobre uma placa extensa normalmente escolhe-se L igual ao comprimento na direção do escoamento; aqui vou tomar L=5\\ \mathrm{m} (a dimensão do lado na qual o vento passa sobre a área).
  • Correlação empírica para fluxo externo turbulento sobre placa plana (válida para \mathrm{Re}_L elevados):
\mathrm{Sh}_L = 0{,}037\,\mathrm{Re}_L^{4/5}\,\mathrm{Sc}^{1/3}
Esta é análoga à correlação de Chilton–Colburn para transferência de massa/ calor e é apropriada quando a camada limite tem porções turbulentas (vou verificar o regime checando \mathrm{Re}_L).
Explicação das grandezas:
\mathrm{Re}_L = \dfrac{U L}{\nu}\quad\text{(Reynolds, sem dimensão)}ã
\mathrm{Sc} = \dfrac{\nu}{D}\quad\text{(Schmidt, sem dimensão)}ã
onde \nu é a viscosidade cinemática do ar (em \mathrm{m^{2}/s}). Vou usar um valor apropriado para ar a 15^\circ\mathrm{C}: \nu \approx 1{,}48\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s} (valor tabelado típico — estou usando este número pois ele é o parâmetro físico necessário para calcular \mathrm{Re} e \mathrm{Sc}).
Assunção importante (expliquei e justifico): estou assumindo que c_{\text{s}} e c_{\infty} permanecem aproximadamente constantes enquanto o filme seca, o que permite tratar k_{c} e j como constantes no tempo. Essa é uma idealização comum em problemas de transferência de massa quando se quer uma estimativa de tempo de secagem.

Passo 4

(cálculo de \mathrm{Re}_L e \mathrm{Sc})
Primeiro converto a velocidade do vento para \mathrm{m/s}:
U = 50\\ \mathrm{km/h} = \dfrac{50}{3{,}6}\\ \mathrm{m/s} = 13{,}888\ldots\\ \mathrm{m/s}\approx 13{,}89\\ \mathrm{m/s}
Comprimento característico:
L = 5\\ \mathrm{m}
Viscosidade cinemática (valor assumido):
\nu = 1{,}48\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s}
Agora \mathrm{Re}_L:
\mathrm{Re}_L = \dfrac{U L}{\nu} = \dfrac{13{,}8889\cdot 5}{1{,}48\times10^{-5}} \approx 4{,}69\times10^{6}
Como \mathrm{Re}_L é bem maior que 5\times10^{5}, o escoamento sobre a placa é predominantemente turbulento — portanto a correlação turbulenta é adequada.
Schmidt:
\mathrm{Sc} = \dfrac{\nu}{D} = \dfrac{1{,}48\times10^{-5}}{2{,}33\times10^{-5}} \approx 0{,}635
Expliquei: \mathrm{Sc} menor que 1 significa que a difusão molecular da espécie (água no ar) é ligeiramente mais rápida em relação ao transporte momentum, mas o valor está da ordem da unidade, então a correlação com expoente 1/3 em \mathrm{Sc} é razoável.

Passo 5

(cálculo de \mathrm{Sh}_L, k_{c})
Aplicando a correlação turbulenta:
\mathrm{Sh}_L = 0{,}037\,\mathrm{Re}_L^{4/5}\,\mathrm{Sc}^{1/3}
Calculo intermediário (valores numéricos):
\mathrm{Re}_L^{4/5} \approx (4{,}69\times10^{6})^{0{,}8} \approx 2{,}17\times10^{5}
\mathrm{Sc}^{1/3} \approx (0{,}635)^{1/3} \approx 0{,}86
Logo
\mathrm{Sh}_L \approx 0{,}037\cdot 2{,}17\times10^{5}\cdot 0{,}86 \approx 6{,}90\times10^{3}
Agora o coeficiente de massa:
k_{c} = \dfrac{\mathrm{Sh}_L\;D}{L} = \dfrac{6{,}90\times10^{3}\cdot 2{,}33\times10^{-5}}{5}
Calculo numérico:
k_{c} \approx \dfrac{0{,}160}{5} \approx 0{,}0320\\ \mathrm{m/s}
Interpretação: este coeficiente significa que, por unidade de diferença de concentração, uma taxa efetiva de remoção é equivalente a uma velocidade de 0{,}0320\\ \mathrm{m/s} multiplicada pela diferença de concentração.

Passo 6

(cálculo do fluxo mássico por área e da taxa total \dot m)
Diferença de concentração:
\Delta c = c_{\text{s}} - c_{\infty} = 0{,}0128 - 0{,}0045 = 0{,}0083\\ \mathrm{kg/m^{3}}
Fluxo mássico por área:
j = k_{c}\,\Delta c = 0{,}0320\cdot 0{,}0083 \approx 2{,}656\times10^{-4}\\ \mathrm{kg/(m^{2}\,s)}
Taxa mássica total (multiplicando pela área A=25\\ \mathrm{m^{2}}):
\dot m = j\cdot A = 2{,}656\times10^{-4}\cdot 25 \approx 6{,}64\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/s}
Converto para \mathrm{kg/min} (útil para interpretar o tempo):
\dot m \approx 6{,}64\times10^{-3}\cdot 60 \approx 0{,}398\\ \mathrm{kg/min}
Relembrando: este valor foi obtido assumindo k_{c} constante e concentrações superficiais fixas — é uma aproximação que dá uma estimativa realista do processo.

Passo 7

(cálculo do tempo para secagem completa)
Assumindo taxa de perda constante igual a \dot m calculada, o tempo necessário para remover a massa total m é
t = \dfrac{m}{\dot m} = \dfrac{7{,}5\\ \mathrm{kg}}{6{,}64\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/s}} \approx 1{,}129\times10^{3}\\ \mathrm{s}
Converto para minutos:
t \approx \dfrac{1{,}129\times10^{3}}{60} \approx 18{,}8\\ \mathrm{min}
Comentário final (empático): lembrando que esta é uma estimativa baseada na hipótese de que c_{\text{s}}, c_{\infty}, D e o regime de escoamento permanecem constantes. Na prática, à medida que o filme afina, a superfície molhada pode mudar e c_{\text{s}} pode variar, mas para uma prova essa abordagem com Sherwood/Reynolds/Schmidt e a suposição de taxa constante é a maneira correta e rápida de resolver o problema.

Resposta

a) 7{,}5\\ \mathrm{kg}
b) \dot m \approx 6{,}64\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/s} (aprox. 0{,}398\\ \mathrm{kg/min})
c) 18{,}8\\ \mathrm{min}

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