Em um dia de chuva, água (
) acumula em uma área de
, formando um filme de espessura
. Logo após a chuva parar, a temperatura ambiente cai para
e um vento de
sopra sobre a área.
Sabe-se que a concentração mássica da água na superfície do filme é igual a
e no ar é igual a
.
Considere que o coeficiente de difisuvidade da água no ar é igual a
, nas condições especificadas.
a) Calcule a quantidade de água que ficou acumulada na área citada no problema.
b) Calcule a taxa mássica de água que é transferida por convecção forçada do filme para o ar.
c) Determine quanto tempo, em minutos, levará para que a área esteja completamente seca.
Considere que o coeficiente de difisuvidade da água no ar é igual a
a) Calcule a quantidade de água que ficou acumulada na área citada no problema.
b) Calcule a taxa mássica de água que é transferida por convecção forçada do filme para o ar.
c) Determine quanto tempo, em minutos, levará para que a área esteja completamente seca.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede o que está listado abaixo.
Dados fornecidos:
Perguntas (o que é pedido):
a) Calcular a quantidade de água acumulada na área (massa total de água no filme).
b) Calcular a taxa mássica de água transferida por convecção forçada do filme para o ar (ou seja, total).
c) Determinar o tempo, em minutos, para que a área fique completamente seca (assumindo que as condições dadas permanecem constantes).
a) Calcular a quantidade de água acumulada na área (massa total de água no filme).
b) Calcular a taxa mássica de água transferida por convecção forçada do filme para o ar (ou seja,
c) Determinar o tempo, em minutos, para que a área fique completamente seca (assumindo que as condições dadas permanecem constantes).
Observação: todos os dados necessários para a questão estão acima. No Passo seguinte vou explicar e aplicar o método para obter cada resposta, justificando as aproximações que usarei.
Passo 2
(a) Cálculo da massa de água acumulada (passo direto e óbvio).
Primeiro calculo a área e a espessura em unidades SI:
Volume do filme:
Massa da água no filme (usando
):
Expliquei: para calcular a massa, multiplicamos densidade pelo volume; volume é área vezes espessura. Nada de complicado — já temos a resposta parcial.
Passo 3
(b) Estratégia para calcular a taxa mássica por convecção forçada.
Teoria básica (explicação didática):
- Em convecção de massa, a taxa de transferência por unidade de área (fluxo mássico) é dada pela lei do filme (análoga à lei de Newton para calor):
onde:
-
é o fluxo mássico por área (em ), -
é o coeficiente convectivo de massa (em ), -
é a concentração na superfície (em ), -
é a concentração no escoamento distante (em ). -
Para estimar
usamos números adimensionais: Sherwood ( ), Reynolds ( ) e Schmidt ( ). Relação conveniente:
onde
é um comprimento característico da placa/área exposta ao vento. Para um escoamento sobre uma placa extensa normalmente escolhe-se
igual ao comprimento na direção do escoamento; aqui vou tomar
(a dimensão do lado na qual o vento passa sobre a área).
- Correlação empírica para fluxo externo turbulento sobre placa plana (válida para
elevados):
Esta é análoga à correlação de Chilton–Colburn para transferência de massa/ calor e é apropriada quando a camada limite tem porções turbulentas (vou verificar o regime checando
).
Explicação das grandezas:
onde
é a viscosidade cinemática do ar (em
). Vou usar um valor apropriado para ar a
:
(valor tabelado típico — estou usando este número pois ele é o parâmetro físico necessário para calcular
e
).
Assunção importante (expliquei e justifico): estou assumindo que
e
permanecem aproximadamente constantes enquanto o filme seca, o que permite tratar
e
como constantes no tempo. Essa é uma idealização comum em problemas de transferência de massa quando se quer uma estimativa de tempo de secagem.
Passo 4
(cálculo de
e
)
Primeiro converto a velocidade do vento para
:
Comprimento característico:
Viscosidade cinemática (valor assumido):
Agora
:
Como
é bem maior que
, o escoamento sobre a placa é predominantemente turbulento — portanto a correlação turbulenta é adequada.
Schmidt:
Expliquei:
menor que 1 significa que a difusão molecular da espécie (água no ar) é ligeiramente mais rápida em relação ao transporte momentum, mas o valor está da ordem da unidade, então a correlação com expoente
em
é razoável.
Passo 5
(cálculo de
,
)
Aplicando a correlação turbulenta:
Calculo intermediário (valores numéricos):
Logo
Agora o coeficiente de massa:
Calculo numérico:
Interpretação: este coeficiente significa que, por unidade de diferença de concentração, uma taxa efetiva de remoção é equivalente a uma velocidade de
multiplicada pela diferença de concentração.
Passo 6
(cálculo do fluxo mássico por área e da taxa total
)
Diferença de concentração:
Fluxo mássico por área:
Taxa mássica total (multiplicando pela área
):
Converto para
(útil para interpretar o tempo):
Relembrando: este valor foi obtido assumindo
constante e concentrações superficiais fixas — é uma aproximação que dá uma estimativa realista do processo.
Passo 7
(cálculo do tempo para secagem completa)
Assumindo taxa de perda constante igual a
calculada, o tempo necessário para remover a massa total
é
Converto para minutos:
Comentário final (empático): lembrando que esta é uma estimativa baseada na hipótese de que
,
,
e o regime de escoamento permanecem constantes. Na prática, à medida que o filme afina, a superfície molhada pode mudar e
pode variar, mas para uma prova essa abordagem com Sherwood/Reynolds/Schmidt e a suposição de taxa constante é a maneira correta e rápida de resolver o problema.
Resposta
a)
b) (aprox.
)
c)
b)
c)