(2 pontos) Ache o valor de c de modo que a força abaixo seja conservativa.
\vec{F}=(z / y) \overrightarrow{e_{x}}+\left(c x z / y^{2}\right) \overrightarrow{e_{y}}+(x / y) \overrightarrow{e_{z}}

Passo 1

O enunciado pede: achar o valor de c de modo que o campo vetorial
\vec{F}=\frac{z}{y}\,\overrightarrow{e_{x}}+\frac{c x z}{y^{2}}\,\overrightarrow{e_{y}}+\frac{x}{y}\,\overrightarrow{e_{z}}
seja conservativo. Informações dadas relevantes:
  • Componentes do campo: F_x=\dfrac{z}{y}, F_y=\dfrac{c x z}{y^{2}}, F_z=\dfrac{x}{y}.
  • O campo está definido apenas quando y\neq 0 (pois há divisões por y).
  • Pergunta única: determinar o(s) valor(es) de c para os quais \vec{F} é conservativo.

Passo 2

O que significa “conservativo” (explicação didática): um campo vetorial \vec{F} é conservativo quando existe uma função escalar \varphi(x,y,z) tal que \vec{F}=\nabla\varphi. Na prática, isso implica que as componentes de \vec{F} são as derivadas parciais de \varphi:
F_x=\frac{\partial\varphi}{\partial x},\qquad F_y=\frac{\partial\varphi}{\partial y},\qquad F_z=\frac{\partial\varphi}{\partial z}.
Uma condição prática muito usada em provas é: se o domínio onde o campo é definido é simplesmente conexo e \nabla\times\vec{F}=\vec{0}, então \vec{F} é conservativo. Aqui vamos usar essa condição porque ela é direta para checar (calcular o rotacional e exigir que seja nulo). Vou mostrar também por que o domínio permite usar essa condição no próximo passo.

Passo 3

Análise do domínio (por que podemos usar o teste do rotacional): o campo envolve y no denominador, então não está definido na superfície y=0. O domínio de definição é \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : y\neq 0\}, que é a união de duas regiões desconexas e abertas: \{y>0\} e \{y<0\}. Cada uma dessas regiões é simplesmente conexa (são homeomorfas a \mathbb{R}^3). Portanto, se conseguirmos \nabla\times\vec{F}=\vec{0} em cada uma dessas regiões, então \vec{F} será conservativo nessas regiões. Logo, o critério do rotacional nulo é suficiente aqui.

Passo 4

Vamos escrever novamente as componentes e calcular as derivadas parciais necessárias, mostrando cada passo:
F_x=\frac{z}{y},\qquad F_y=\frac{c x z}{y^{2}},\qquad F_z=\frac{x}{y}.
Derivadas parciais que iremos usar:
  • \displaystyle \frac{\partial F_x}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{z}{y}\right)=z\cdot\frac{\partial}{\partial y}\!\left(y^{-1}\right)=z\cdot(-1)y^{-2}=-\frac{z}{y^{2}}.
  • \displaystyle \frac{\partial F_x}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\!\left(\frac{z}{y}\right)=\frac{1}{y}.
  • \displaystyle \frac{\partial F_y}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\!\left(\frac{c x z}{y^{2}}\right)=\frac{c x}{y^{2}} (tratando x,y como constantes).
  • \displaystyle \frac{\partial F_y}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{c x z}{y^{2}}\right)=\frac{c z}{y^{2}}.
  • \displaystyle \frac{\partial F_z}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{1}{y}.
  • \displaystyle \frac{\partial F_z}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{x}{y}\right)=x\cdot\frac{\partial}{\partial y}\!\left(y^{-1}\right)= -\frac{x}{y^{2}}.
Cada uma dessas derivadas foi obtida usando regras básicas: derivada de y^{-1} é -y^{-2}; as variáveis que não são diferenciais são tratadas como constantes.

Passo 5

Agora calculemos o rotacional \nabla\times\vec{F} em componentes e imponhamos que seja o vetor nulo. A fórmula componente a componente é:
\nabla\times\vec{F}=\Big(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}\Big)\overrightarrow{e_x}+\Big(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}\Big)\overrightarrow{e_y}+\Big(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\Big)\overrightarrow{e_z}.
Substituindo as derivadas que calculamos:
  • Componente em \overrightarrow{e_x}:
\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}=-\frac{x}{y^{2}}-\frac{c x}{y^{2}}=-\frac{x(1+c)}{y^{2}}.
  • Componente em \overrightarrow{e_y}:
\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}=\frac{1}{y}-\frac{1}{y}=0.
  • Componente em \overrightarrow{e_z}:
\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}=\frac{c z}{y^{2}}- \big(-\frac{z}{y^{2}}\big)=\frac{z(c+1)}{y^{2}}.
Para que \nabla\times\vec{F}=\vec{0} em cada uma das regiões y>0 e y<0, todas as três componentes precisam ser zero. A segunda componente já é zero identicamente. As primeiras e terceiras componentes dão:
-\frac{x(1+c)}{y^{2}}=0\qquad\text{e}\qquad \frac{z(1+c)}{y^{2}}=0.
Essas equalidades devem valer para todos x,z e para todo y\neq 0. A única forma de garantir isso é que o fator multiplicador comum seja zero:
1+c=0.

Passo 6

Da equação 1+c=0 obtemos imediatamente
c=-1.
Para confirmar (opcional, mas pedagógico), se c=-1 então as componentes ficam
F_x=\frac{z}{y},\qquad F_y=-\frac{x z}{y^{2}},\qquad F_z=\frac{x}{y},
e já vemos que o rotacional é nulo. Podemos ainda encontrar a função potencial \varphi verificando:
  • Integrando F_x=\dfrac{z}{y} em relação a x:
\varphi(x,y,z)=\frac{x z}{y}+g(y,z).
  • Derivando em y e igualando a F_y=-\dfrac{x z}{y^{2}} obtemos g_y(y,z)=0\Rightarrow g=g(z).
  • Derivando em z e igualando a F_z=\dfrac{x}{y} obtemos g'(z)=0\Rightarrow g constante.
    Portanto existe \varphi (por exemplo \varphi(x,y,z)=\dfrac{x z}{y} até constante) e o campo é conservativo quando c=-1.

Resposta

c=-1

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