(2 pontos) Ache o valor de c de modo que a força abaixo seja conservativa.
\vec{F}=(z / y) \overrightarrow{e_{x}}+\left(c x z / y^{2}\right) \overrightarrow{e_{y}}+(x / y) \overrightarrow{e_{z}}
Passo 1
O enunciado pede: achar o valor de c de modo que o campo vetorial
\vec{F}=\frac{z}{y}\,\overrightarrow{e_{x}}+\frac{c x z}{y^{2}}\,\overrightarrow{e_{y}}+\frac{x}{y}\,\overrightarrow{e_{z}}
seja conservativo. Informações dadas relevantes:
Componentes do campo: F_x=\dfrac{z}{y}, F_y=\dfrac{c x z}{y^{2}}, F_z=\dfrac{x}{y}.
O campo está definido apenas quando y\neq 0 (pois há divisões por y).
Pergunta única: determinar o(s) valor(es) de c para os quais \vec{F} é conservativo.
Passo 2
O que significa “conservativo” (explicação didática): um campo vetorial \vec{F} é conservativo quando existe uma função escalar \varphi(x,y,z) tal que \vec{F}=\nabla\varphi. Na prática, isso implica que as componentes de \vec{F} são as derivadas parciais de \varphi:
Uma condição prática muito usada em provas é: se o domínio onde o campo é definido é simplesmente conexo e \nabla\times\vec{F}=\vec{0}, então \vec{F} é conservativo. Aqui vamos usar essa condição porque ela é direta para checar (calcular o rotacional e exigir que seja nulo). Vou mostrar também por que o domínio permite usar essa condição no próximo passo.
Passo 3
Análise do domínio (por que podemos usar o teste do rotacional): o campo envolve y no denominador, então não está definido na superfície y=0. O domínio de definição é \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : y\neq 0\}, que é a união de duas regiões desconexas e abertas: \{y>0\} e \{y<0\}. Cada uma dessas regiões é simplesmente conexa (são homeomorfas a \mathbb{R}^3). Portanto, se conseguirmos \nabla\times\vec{F}=\vec{0} em cada uma dessas regiões, então \vec{F} será conservativo nessas regiões. Logo, o critério do rotacional nulo é suficiente aqui.
Passo 4
Vamos escrever novamente as componentes e calcular as derivadas parciais necessárias, mostrando cada passo:
F_x=\frac{z}{y},\qquad F_y=\frac{c x z}{y^{2}},\qquad F_z=\frac{x}{y}.
Cada uma dessas derivadas foi obtida usando regras básicas: derivada de y^{-1} é -y^{-2}; as variáveis que não são diferenciais são tratadas como constantes.
Passo 5
Agora calculemos o rotacional \nabla\times\vec{F} em componentes e imponhamos que seja o vetor nulo. A fórmula componente a componente é:
Para que \nabla\times\vec{F}=\vec{0} em cada uma das regiões y>0 e y<0, todas as três componentes precisam ser zero. A segunda componente já é zero identicamente. As primeiras e terceiras componentes dão:
e já vemos que o rotacional é nulo. Podemos ainda encontrar a função potencial \varphi verificando:
Integrando F_x=\dfrac{z}{y} em relação a x:
\varphi(x,y,z)=\frac{x z}{y}+g(y,z).
Derivando em y e igualando a F_y=-\dfrac{x z}{y^{2}} obtemos g_y(y,z)=0\Rightarrow g=g(z).
Derivando em z e igualando a F_z=\dfrac{x}{y} obtemos g'(z)=0\Rightarrow g constante.
Portanto existe \varphi (por exemplo \varphi(x,y,z)=\dfrac{x z}{y} até constante) e o campo é conservativo quando c=-1.